上海市黄浦区2021届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x, x^{2}} (x \in R)$ ，若 $1 \in A$ ，则 $x =$ .

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2. 函数 $f (x) = \lg \frac{1 - x}{1 + x}$ 的定义域是

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3. 已知 $\sin (π - θ) = - \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} - θ) =$ .

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4. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(4, \frac{1}{2})$ ，则 $f (x) =$ .

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5. 已知 $x$ 是 $- 2$ 和 $8$ 的等差中项， $y^{2}$ 是 $32$ 和 $8$ 的等比中项，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} =$ .

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6. 已知直线 $l$ 过点 $P (- 2, 1)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{d} = (- 3, 2)$ ，则直线 $l$ 的点方向式方程是.

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7. 某圆锥体的底面圆的半径长为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图是圆心角为 $\frac{2}{3} π$ 的扇形，则该圆锥体的体积是.

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8. 已知 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{9}$ 的二项展开式中的常数项的值是 $a$ ，若 $3 i \cdot z + a - 6 i = 72 + 3 i$ (其中 $i$ 是虚数单位)，则复数 $z$ 的模 $| z | =$ .(结果用数值表示)

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9. 若关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次线性方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的增广矩阵是 $(\begin{matrix} m & 1 & 3 \\ 0 & 2 & n \end{matrix})$ ，且 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ 是该线性方程组的解，则三阶行列式 $| \begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & m \\ 2 & n & 1 \end{matrix} |$ 中第3行第2列的元素的代数余子式的值是.

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10. 某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者(其中男生2人､女生5人)中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是． (结果用数值表示)

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11. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，向量 $\vec{c} = λ \cdot \vec{a} + (1 - λ) \cdot \vec{b}$ ( $λ \in R$ )，且对任意 $λ \in R$ ，总有 $| \vec{c} + k \vec{a} | \geq 2 \sqrt{5}$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是.

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12. 已知 $a 、 b \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} + a x + b + | x^{2} - a x - b | (x \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 的最小值为 $2 b^{2}$ ，则实数 $b$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 已知 $a 、 b 、 l$ 是空间中的三条直线，其中直线 $a 、 b$ 在平面 $α$ 上，则“ $l ⊥ a$ 且 $l ⊥ b$ ”是“ $l ⊥$ 平面 $α$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件

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14. 为了得到函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x (x \in R)$ 的图像，可以将函数 $y = 2 \sin x (x \in R)$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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15. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成).已知 OA=10 米， $O B = x$ 米 $(0 < x < 10)$ ，线段 BA 、线段 CD ､弧 BC ､弧 AD 的长度之和为 30 米，圆心角为 $θ$ 弧度，则 $θ$ 关于 $x$ 的函数解析式是答（）

A、 $θ = \frac{2 x + 10}{x + 10}$ B、 $θ = \frac{x + 10}{2 x + 10}$ C、 $θ = \frac{10 - x}{10 + x}$ D、 $θ = \frac{10 - x}{2 x + 10}$

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16. 已知 $k \in R$ ，函数 $f (x) = | x^{2} - 4 | + x^{2} + k x$ 的定义域为 $R$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 4)$ 上有两个不同的零点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- 7 < k < - 2$ B、 $k < - 7$ 或 $k > - 2$ C、 $- 7 < k < 0$ D、 $- 2 < k < 0$

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三、解答题

17. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ，点 $E$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 的中心.

(1)、连接 $A_{1} D$ ，求三棱锥 $A_{1} - D E D_{1}$ 的体积 $V_{A_{1} - D E D_{1}}$ 的数值；

(2)、求异面直线 $A_{1} E$ 与 $A D$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $A$ 为钝角，且 $2 a \sin B - \sqrt{2} b = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、记 $B = x$ ，求函数 $f (x) = \cos x + \cos (\frac{π}{3} + x)$ 的值域.

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19. 已知实数 $a, b$ 是常数，函数 $f (x) = (\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} + a) (\sqrt{1 - x^{2}} + b)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $a = - 3, b = 1$ ，设 $t = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ ，记 $t$ 的取值组成的集合为 $D$ ，则函数 $f (x)$ 的值域与函数 $g (t) = \frac{1}{2} (t^{3} - 3 t^{2})$ ( $t \in D$ )的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合 $D$ ；

（ii）研究函数 $g (t) = \frac{1}{2} (t^{3} - 3 t^{2})$ 在定义域 $D$ 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数 $f (x)$ 的最小值.

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20. 定义：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，把圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 称为该椭圆的协同圆.设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的协同圆为圆 $O$ ( $O$ 为坐标系原点)，试解决下列问题：

(1)、写出协同圆圆 $O$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 是圆 $O$ 的任意一条切线，且交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(3)、设 $M, N$ 是椭圆 $C$ 上的两个动点，且 $O M ⊥ O N$ ，过点 $O$ 作 $O H ⊥ M N$ ，交直线 $M N$ 于 $H$ 点，求证：点 $H$ 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} \neq a_{1}$ ， $a_{n} = f (a_{n - 1})$ ， $f (a_{n}) + k f (a_{n - 1}) = t (a_{n} + k a_{n - 1}) (n \geq 2, n \in N^{*})$ (实数 $k 、 t$ 是非零常数).

(1)、若 $k = - 1$ ，且数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $a_{2} + k a_{1} \neq 0 ，$ 数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 1} + k a_{n} (n \in N^{*})$ ，求通项公式 $b_{n}$ ；

(3)、若 $k = - 1 ， t \neq 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = a (a \neq 0, a \in R)$ ， $a_{2} \neq a_{1}$ ，试证明： $f (a) = t \cdot a$ .

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