山东省淄博市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x}}$ ，那么 $A \cup ∁_{R} B =$ （）．

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 0)$

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2. 若复数 $\bar{z} = \frac{1 - 2 i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）．

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $2 S_{3} = a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，则公比 $q =$ （）．

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、1 D、2

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4. 若圆台的上、下底面面积分别为4，16，则圆台中截面的面积为（）．

A、10 B、8 C、9 D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 函数 $f (x) = (e^{x} + e^{- x}) \tan x$ 的部分图像大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $\tan α > \sin α > \sin 2 α (- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2})$ ，则 $α \in$ （）．

A、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ B、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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7. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，则“ $\frac{a b}{a + b} \leq 2$ ”是“ $a b \leq 16$ ”的（）．

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 碳70 $(C_{70})$ 是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（）．

A、12 B、25 C、30 D、36

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二、多选题

9. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，且 $m, n ⊄ α$ ， $m, n ⊄ β$ ，给出下列四个论断：① $α // β$ ；② $m // n$ ；③ $m // α$ ；④ $n // β$ ．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是（）．

A、①②③⇒④ B、①③④⇒② C、①②④⇒③ D、②③④⇒①

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10. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）．

A、离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $| \vec{P F_{2}} |$ 的最大值为3 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} |$ 的最小值为2

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11. 已知 $e$ 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）．

A、 $\ln 2 > \frac{2}{e}$ B、 $\ln 3 < \frac{3}{e}$ C、 $\ln π > \frac{π}{e}$ D、 $\frac{\ln 3}{\ln π} < \frac{3}{π}$

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12. 记 $〈 x 〉$ 表示与实数 $x$ 最接近的整数，数列 ${a_{n}}$ 通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{〈 \sqrt{n} 〉} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设 $k = 〈 \sqrt{n} 〉$ ，则下列结论正确的是（）．

A、 $\sqrt{n} = k - \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{n} < k + \frac{1}{2}$ C、 $n \geq k^{2} - k + 1$ D、 $S_{2021} = 88$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为．

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15. 已知 ${(1 + x)}^{m} + {(1 + 3 x)}^{n} (m, n \in N^{*})$ 展开式中 $x$ 的系数为11，当 $x^{2}$ 的系数取最小值时， $x^{4}$ 的系数是．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $c$ 是双曲线 $C$ 的半焦距，点 $A$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上一点，线段 $F_{2} A$ 交双曲线 $C$ 的右支于点 $B$ ，且有 $| F_{2} A | = a$ ， $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A F_{2}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是．

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四、解答题

17. 在① $S_{5} = 50$ ，② $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列，③ $S_{6} = 3 (a_{6} + 2)$ ．这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足______．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} - b_{n - 1} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $b_{1} - a_{1} = 1$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos (A - C) + \cos B = \frac{3}{2}$ ，设 $\vec{m} = (b, c)$ ， $\vec{n} = (a, b)$ 且 $\vec{m} // \vec{n}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、延长 $B C$ 至 $D$ ，使 $B D = 5$ ，若 $△ A C D$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．

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19. 如图所示，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，侧棱 $P A = P C = 3$ ， $P B = P D$ ，过点 $A$ 的平面与侧棱 $P B$ ， $P D$ ， $P C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ， $M$ ，且满足 $P E = P F$ ， $P M = 1$ ．

(1)、求证：直线 $P C ⊥$ 平面 $A E M F$ ；

(2)、求平面 $M D B$ 与平面 $A E M F$ 所成二面角的正弦值．

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20. 某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (82, 64)$ ．

(1)、估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？

(2)、该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数 $(10, 11, \dots, 99)$ ，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G ，否则获赠手机流量1G ．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？
参考数据：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.68$

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21. 已知函数 $f (x) = | \ln x | + a x (a < 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰好有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知抛物线 $Ω$ 的标准方程是 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过点 $M (0, 2 p)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $Ω$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且满足 $y_{1} \cdot y_{2} = 64$ ．

(1)、求抛物线 $Ω$ 的标准方程及准线方程；

(2)、设垂直于 $l$ 的直线 $l_{1}$ 和抛物线 $Ω$ 有两个不同的公共点 $C$ ， $D$ ，当 $C$ ， $D$ 均在以 $A B$ 为直径的圆上时，求直线 $l$ 的斜率．

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