景德镇市2021届高三理数第三次质检试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} (x^{3} - 1)}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i^{2021}) z = | \sqrt{3} + i |$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、-2 B、1 C、 $- i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{1} a_{5} = 16$ 且 $a_{1} < a_{5}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、±16 B、16 C、±4 D、4

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4. 在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出 $π$ 的近似值为(精确到小数点后两位)（）

A、3.06 B、3.12 C、3.20 D、3.24

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5. 已知向量 $\vec{m} = (2 λ, - 1)$ ， $\vec{n} = (2, λ - 5)$ 且 $| \vec{m} + 2 \vec{n} | = | \vec{m} - 2 \vec{n} |$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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7. 若直线 $m x + y - 2 m - 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 1 = 0$ 所截弦长最短，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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8. 三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、6 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a | x - \frac{a}{2} | + 2 - \frac{a^{2}}{2}, x \geq 0 \\ \frac{3 a}{2^{x + 1}}, x < 0 \end{array}$ 在 $x_{0} (x_{0} > 0)$ 处取得最小值，且 $f (- x_{0}) < 3 a$ ，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $[2, 3)$ B、 $[1, 3)$ C、 $[1, 2)$ D、 $(1, 3)$

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10. 在棱长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A B$ 、 $A D$ 的中点，则平面 $D_{1} E F$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的交点轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $\sqrt{13} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3} π$ D、4π

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11. 已知 $A$ ， $B$ 分别为抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} y + 7 = 0$ 上的动点，抛物线的焦点为 $F$ ， $P$ ， $Q$ 为平面两点，当 $| A F | + | A B |$ 取到最小值时，点 $A$ 与 $P$ 重合，当 $| A F | - | A B |$ 取到最大时，点 $A$ 与 $Q$ 重合，则直线的 $P Q$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\ln a + \ln b^{2} \geq 2 a + \frac{b^{2}}{2} - 2$ ，则（）

A、 $a + 2 b = \sqrt{2} + \frac{1}{4}$ B、 $a - 2 b = \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2}$ C、 $a > b^{2}$ D、 $b^{2} - 4 a < 0$

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二、填空题

13. 某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知4号､43号同学在样本中，那么样本中另外两位同学的学号是.

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14. 已知 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{4}) \sin θ =$ .

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15. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的部分项 $a_{k_{1}}$ ， $a_{k_{2}}$ ， $a_{k_{3}}$ ，……构成等比数列 ${a_{n}}$ ，且 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 2$ ， $k_{3} = 5$ ，则 $k_{n} =$ .

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16. 对于定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，若满足（1） $f (0) = 0$ ；（2）当 $x \in R$ ，且 $x \neq 0$ 时，都有 $x f^{'} (x) > 0$ ；（3）当 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，且 $| x_{1} | = | x_{2} |$ 时，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 为“偏对称函数”.现给出四个函数：① $f_{1} (x) = x \sin x$ ；② $f_{2} (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ；③ $f_{3} (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq 0 \\ \ln (x + 1) ， x > 0 \end{array}$ ；④ $f_{4} (x) = e^{x} - x - 1$ 则“偏对称函数”有个.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin x ， \cos x - 1)$ ， $\vec{n} = (\cos x ， \cos x + 1)$ .若 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $R t △ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $∠ A = 90 °$ ， $f (C) = 0$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $C D$ 为 $∠ B C A$ 的角平分线， $E$ 为 $C D$ 中点，求 $B E$ 的长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $2 P A = A D = P C = 4$ ，点 $M$ 是 $A B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P C M ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - M$ 的余弦值．

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19. 自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．

(1)、实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

(2)、科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到焦点 $F$ 的最小距离为1，且以椭圆 $E$ 的短轴为直径的圆过点 $(0 ， \sqrt{5})$ 且 $A$ ， $B$ 为椭圆的左右顶点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $P (2 ， 0)$ 直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ 在第一象限），直线 $A N$ 、 $B M$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} = λ k_{2}$ ，若存在，求出实数 $λ$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} (a \in R)$ ，

(1)、若直线 $y = x - 2$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a$ 的值．

(2)、当 $a \geq 1$ 时，求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) - \ln x + \ln a \geq 1$ 恒成立．

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22. 在极坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ - 8 \cos θ = 0$ ，以极点 $O$ 为原点，以极轴为 $x$ 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知 $M$ 点的坐标为 $(0, 2)$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，且与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若点 $P$ 为曲线 $C$ 的动点，则满足使得 $△ A B P$ 的面积 $S_{△ A B P} = 16 \sqrt{2}$ 条件的点 $P$ 有几个，并求出点 $P$ 的坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = b | x | + | x - a | (a > 0)$ .

(1)、当 $b = 1$ ， $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、当 $b = 2$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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