湖北省2021届高三下学期数学4月调研模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | 4^{x} > 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 3)$

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2. $(x + \frac{2}{x}) {(x - 1)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、45 B、-45 C、15 D、-15

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 20$ ， $S_{20} = 30$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、20 B、30 C、40 D、50

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4. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点为 $F$ ，则对于椭圆上两动点 $A$ ， $B$ ， $△ A B F$ 周长的最大值为（）

A、 $4 + \sqrt{5}$ B、6 C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、8

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5. 下列对不等关系的判断，正确的是（）

A、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ B、若 $\frac{| a |}{a^{2}} > \frac{| b |}{b^{2}}$ ，则 $2^{a} < 2^{b}$ C、若 $\ln a^{2} > \ln b^{2}$ ，则 $2^{| a |} > 2^{| b |}$ D、若 $\tan a > \tan b$ ，则 $a > b$

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6. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（）

A、 $f (g (x))$ B、 $g (f (x))$ C、 $f (f (x))$ D、 $g (g (x))$

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7. 为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）
（取 ${(1.2)}^{11} = 7.5$ ， ${(1.2)}^{12} = 9$ ）

A、24000元 B、26000元 C、30000元 D、32000元

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{9}$

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二、多选题

9. 四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一，其中只有一张奖券可以中奖，则（）

A、四人中奖概率与抽取顺序无关 B、在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为 $\frac{2}{3}$ C、事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥 D、事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

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10. 已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第三象限角，且 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ， $\cos (β - \frac{π}{3}) = - \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + β)$ 可以为（）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $- \frac{63}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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11. 若四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形，则（）

A、四个侧面可能都是直角三角形 B、平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线与直线 $A B$ ， $C D$ 都平行 C、该四棱锥一定存在内切球 D、该四棱锥一定存在外接球

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12. 设 $f (x) = 2 | \sin x | - \cos x$ ，则下列关于 $f (x)$ 的判断正确的有（）

A、对称轴为 $x = k π$ ， $k \in Z$ B、最小值为 $- \sqrt{5}$ C、一个极小值为1 D、最小正周期为 $π$

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三、填空题

13. 设复数 $z_{1} = \sqrt{3} + i$ ，若 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = i$ ，则 $| z_{1} + z_{2} | =$ .

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14. 某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为.

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15. 以抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 为端点的一条射线交抛物线于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，若 $| A F | = 2$ ， $| B F | = 3$ ，则 $p =$ .

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16. 若存在两个不相等的正实数 $x$ ， $y$ ，使得 $m (y - x) + e^{2 y} - e^{2 x} = 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $a_{3} = b_{4} + 20$ ，② $a_{1} = b_{2}$ ，③ $S_{3} = 5 b_{4} + 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.已知数列 ${a_{n}}$ 为正项递增等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $2 b_{2} = b_{4} - 1$ ， $b_{5} = 3 b_{2}$ ， $a_{2} = b_{5}$ ， ▲ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \log_{3} a_{2 n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos (x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $A$ 锐角，若 $f (A) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $a = \sqrt{5}$ ， $b + c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形， $M$ 为 $B B_{1}$ 中点， $N$ 为 $A A_{1}$ 中点， $P$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点.

(1)、证明：直线 $P N //$ 平面 $A M D$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求平面 $A M D$ 与平面 $P N D_{1}$ 所成的锐二面角的余弦值.

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20. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：

(1)、得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、由直方图可以认为，问卷成绩值 $Y$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差.
①求 $P (77.2 < Y < 89.4)$ ；

②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记 $Z$ 表示这2000人中分数值位于区间 $(77.2 ， 89.4)$ 的人数，利用①的结果求 $E (Z)$ .

参考数据： $\sqrt{150} \approx 12.2$ ， $\sqrt{146} \approx 12.1$ ， $P (μ - σ < Y < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Y < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < Y < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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21. 过双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左焦点 $F_{1}$ 的动直线 $l$ 与 $Γ$ 的左支交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $Γ$ 的右焦点为 $F_{2}$ .

(1)、若三角形 $A B F_{2}$ 可以是边长为4的正三角形，求此时 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若存在直线 $l$ ，使得 $A F_{2} ⊥ B F_{2}$ ，求 $Γ$ 离心率的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = a e^{2 x} + (2 a - 1) e^{x} - x$ ， $a$ 为常数.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq (3 a - 1) \cos x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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