河南省六市高三2021届理数第二次联考（二模）试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $i (2 + i)$ 的实部为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[1, 3]$ B、 $(3, 5]$ C、 $[3, 5)$ D、 $[1, 3)$

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3. 在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示，下列说法正确的是（）

A、甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定 B、甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定 C、乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定 D、乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定

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4. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面 $D$ 点看楼顶点 $A$ 的仰角为30°，沿直线前进79米到达 $E$ 点，此时看点 $C$ 的仰角为45°，若 $B C = 2 A C$ ，则楼高 $A B$ 约为（）．

A、65米 B、74米 C、83米 D、92米

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5. 在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）

A、11位 B、12位 C、13位 D、14位

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6. 由射线 $y = \frac{4}{3} x$ （ $x \geq 0$ ）逆时针旋转到射线 $y = - \frac{5}{12} x$ （ $x \leq 0$ ）的位置所成角为 $θ$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{16}{65}$ B、 $\pm \frac{16}{65}$ C、 $- \frac{56}{65}$ D、 $\pm \frac{56}{65}$

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出 $i$ 的值为7，则框图中①处可以填入（）

A、 $S > 7$ B、 $S > 21$ C、 $S > 28$ D、 $S > 36$

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8. 如图，正方形网格的边长为 $1 ，$ 图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（）

A、8 B、12 C、18 D、22

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9. 设 $0 < a < b < 1$ ， $x = a^{b}$ ， $y = b^{a}$ ， $z = \log_{b} a$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < x < z$ C、 $z < x < y$ D、 $z < y < x$

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10. 若 $a$ ， $b$ 为正实数，且 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、4

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在 $C$ 的左支上，过点 $M$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，则当 $| M F_{2} | + | M N |$ 取最小值10时， $△ F_{1} N F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、25 B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{50}{9}$ D、 $\frac{100}{9}$

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12. 现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ，侧面 $△ P A D$ 为等边三角形，线段 $B C$ 的中点为 $E$ ，若 $P E = 1$ ，则所需球体原材料的最小体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{28 π}{3}$ C、 $9 π$ D、 $\frac{14 \sqrt{3} π}{3}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 已知直线 $a x + y - 1 = 0$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + a)}^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，则实数 $a$ 的值为

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15. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积为.

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16. 若 $\forall x > 0$ ，不等式 $\ln x + 2 + \frac{a}{x} \geq b (a > 0)$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差大于零的等差数列，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{2}^{2} = a_{4} + 24$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} \sin a_{n} π (n 为奇数) \\ \cos a_{n} π (n 为偶数) \end{array}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{2021}$ .

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ P C$ ， $A D ∕ ∕ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $P C = B C = 2 A D$ $= 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ．

(1)、 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - A C - D$ 的大小为 $60 °$ ？如果存在，求 $\frac{P M}{P D}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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19. 2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

(1)、假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这558位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

(2)、根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；

方案二：将55位居民分成5组，每组11人；

试分析哪一个方案的工作量更少？

（参考数据： ${0.98}^{5} = 0.904$ ， ${0.98}^{11} = 0.801$ ）

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20. 已知圆 $M ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，动圆 $N$ 与圆 $M$ 相外切，且与直线 $x = - \frac{1}{2}$ 相切.

(1)、求动圆圆心 $N$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知点 $P (- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2}) ， Q (1 ， 2)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于两个不同的点 $A ， B$ （与 $Q$ 点不重合），直线 $Q A ， Q B$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、设 $f (x)$ 图象在点 $(1 ， 0)$ 处的切线与 $g (x)$ 的图象相切，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $F (x) = \frac{2 f (x)}{x} + g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | \leq \frac{3}{2}$ ，求 $| F (x_{1}) - F (x_{2}) |$ 的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \cdot t \\ y = 1 + \sin α \cdot t \end{array}$ ( $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ ).以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) + x < 2$ ；

(2)、若存在 $a \in [- \frac{1}{3}, 1]$ ，使得不等式 $f (x) \geq b + | 2 x + a^{2} |$ 的解集非空，求b的取值范围.

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