广西钦州市、玉林市、柳州市2021届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | 2 x - 7 \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 3}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{7}{2}}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 复数 $z = \frac{2 i}{1 - 3 i}$ （i为虚数单位）的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 已知偶函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $a = g (- \log_{2} 6.1) ， b = g (2^{0.7}) ， c = g (3)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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4. 2020年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：

	不使用	使用	合计
优秀	8	4	12
不优秀	2	16	18
合计	10	20	30

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$p (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

根据表中的数据，下列说法中正确的是（）

A、有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响 B、有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响 C、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习无影响 D、在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x \sin x$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A、36种 B、48种 C、72种 D、120种

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，当首项 $a_{1}$ 和公差d变化时， $a_{3} + a_{8} + a_{10}$ 是一个定值，则下列选项中为定值的是（）

A、 $S_{7}$ B、 $S_{8}$ C、 $S_{13}$ D、 $S_{15}$

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8. 已知函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作 $[x]$ ，如图，则输出的S值为（）

A、42 B、43 C、44 D、45

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9. 已知点P是边长为2的正三角形 $A B C$ 所在平面上一点，满足 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B}) = 0$ ，则 $| P B |$ 刚的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

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10. 圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上一动点 $M$ ，抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一动点 $N (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0} + | M N |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5} - 1$ B、2 C、3 D、4

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $x - \ln a = 2 \ln | x |$ 有三个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} e ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4} e^{2} ， + \infty)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(e^{2} ， + \infty)$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a ，点 $E ， F ， G$ 分别为棱 $A B ， A A_{1} ， C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论中正确的个数是（）
①过 $E ， F ， G$ 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；② $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $E F G$ ；③异面直线 $E F$ 与 $B D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ ；④四面体 $A C B_{1} D_{1}$ 的体积等于等 $\frac{a^{3}}{3}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{6} = 4 a_{4}$ ，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{m} = 127$ ，则 $m =$ .

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14. 如图所示，在边长为1的正方形 $O A B C$ 中任取一点 $P$ ，则点 $P$ 恰好取自阴影部分（由对角线 $O B$ 及函数 $y = x^{3}$ 围成）的概率为.

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15. 已知P为球O球面上一点，点M满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M P}$ ，过点M与 $O P$ 成 $30 °$ 的平面截球O ，截面的面积为16π，则球O的表面积为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l ： y = k x + 8$ 上存在点P ，过点P作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点分别为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 2$ ，则实数k的取值范围为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，且 $f (A) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值.

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18. 为了了解游客对景区的满意度，市旅游部门随机对景区的100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80)$ ， $[80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 内，且游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示.

(1)、求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；

(2)、视频率为概率，规定评分不低于80分为满意，低于80分为不满意，记游客不满意的概率为p.
①若从游客中随机抽取m人，记这m人对景区都满意的概率为 $a_{m}$ ，求数列 ${a_{m}}$ 的前4项和；

②为了提高游客的满意度，市旅游部门对景区设施进行了改进，游客人数明显增多，旅游部门随机抽取了3名游客进行了继续旅游的意愿调查，若不再去旅游记 $- 1$ 分，继续去旅游记1分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为p ，记调查总得分为X ，求X的分布列与数学期望.

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19. 如图，三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $A B C$ 和侧面 $S B C$ 都是等边三角形， $B C = 2 ， S A = \sqrt{6}$ .

(1)、若P点是线段 $S A$ 的中点，求证： $S A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、点Q在线段 $S A$ 上且满足 $A Q = \frac{1}{3} A S$ ，求 $B Q$ 与平面 $S A C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过一点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，P是椭圆上一动点，当 $P F_{2}$ 垂直于x轴时， $| P F_{2} | = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $F_{1}$ ，斜率为k的直线l交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $∠ A O B$ 为钝角（O为坐标原点），求k的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 4 x - a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对任意 $x > 1$ ，都有 $f (x) + 4 x + 1 > \frac{1 - x}{x}$ 恒成立，求整数a的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ = 2 a \tan θ (a > 0)$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (- 4, - 2)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $| P M |$ 、 $| M N |$ 、 $| P N |$ 成等比数列，求实数 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | + | x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 12$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) - {(\frac{1}{3})}^{1 - 3 a} + 2 \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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