北京市丰台区2021届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = {(x - 1)}^{2}$ D、 $y = \ln x$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-4 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为 $P (\frac{2}{3}, y_{0})$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + α) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a / / b$ D、若 $a / / α, a / / β$ ，则 $α / / β$

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6. “ $a = 1$ ”是“直线 $x + a y - 1 = 0$ 与直线 $a x - y + 1 = 0$ 相互垂直”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的渐近线与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切，则 $a =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 将函数 $y = \log_{2} (2 x + 2)$ 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $\log_{2} (2 x + 1) - 1$ B、 $\log_{2} (2 x + 1) + 1$ C、 $\log_{2} x - 1$ D、 $\log_{2} x$

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9. 某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）

A、15 B、45 C、60 D、75

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10. 如图，半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2} ， a > 0 ， b > c > 0$ . $A_{1} ， A_{2}$ 和 $B_{1} ， B_{2}$ 分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：

① $\sqrt{2} c < a < \sqrt{2} b$ ；②若 $| A_{1} A_{2} | = | B_{1} B_{2} |$ ，则 $a ： b ： c = 5 ： 4 ： 3$ ；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P ，使用 $∠ A_{1} P A_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{2} < \frac{c}{a} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 的值域为.

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12. 能够说明“若a ， b ， m均为正数，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ”是假命题的一组整数a ， b的值依次为.

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13. 已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则 $| x_{0} | =$ .

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14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 $△ A B C$ 中，若 $A F = 1 ， F D = 2$ ，则 $A B =$ .

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15. 函数 $f (x)$ 是定义域为R的奇函数，满足 $f (\frac{π}{2} - x) = f (\frac{π}{2} + x)$ ，且当 $x \in [0 ， π)$ 时， $f (x) = \frac{\sin x}{x^{2} - π x + π}$ ，给出下列四个结论：
① $f (π) = 0$ ；

② $π$ 是函数 $f (x)$ 的周期；

③ 函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增；

④ 函数 $g (x) = f (x) - \sin 1 (x \in [- 10 ， 10])$ 所有零点之和为 $3 π$ .

其中，正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且满足___________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + 2^{n - 1}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .
从① $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ；② $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ；③ $a_{n + 1} + a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组： $[30 ， 40) ， [40 ， 50) ， \cdot \cdot \cdot ， [90 ， 100]$ ，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

满意度的分数

$[30 ， 60)$

$[60 ， 100]$

满意度的等级

不满意

满意

(1)、从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

(2)、用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B / / C D$ ， $C D / / E F$ ， $A B = E F = 1$ ， $D A = D C = D E = 2$ ， $∠ A D E = ∠ A D C = ∠ E D C = \frac{π}{2}$ ，点M为棱 $C F$ 上一点，平面 $A E M$ 与棱 $B C$ 交于点N ．

(1)、求证： $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $A E / / M N$ ；

(3)、若平面 $A E M$ 与平面 $C D E F$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求 $\frac{F M}{F C}$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 a x) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ，过点 $(- 1, 0)$ 的直线l交椭圆C于点A ， B.

(1)、当直线l与x轴垂直时，求 $| A B |$ ；

(2)、在x轴上是否存在定点P ，使 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值？若存在，求点P的坐标及 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 设数集S满足：①任意 $x \in S$ ，有 $x ⩾ 0$ ；②任意 $x, y \in S$ ，有 $x + y \in S$ 或 $| x - y | \in S$ ，则称数集S具有性质P.

(1)、判断数集 $A = {0, 1, 2, 4}$ 是否具有性质P ，并说明理由；

(2)、若数集 $B = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 且 $a_{i} < a_{i + 1} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1)$ 具有性质P.
（i）当 $n = 2021$ 时，求证： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ 是等差数列；

（ii）当 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ 不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)

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满意度的分数	$[30 ， 60)$	$[60 ， 100]$
满意度的等级	不满意	满意