安徽省宣城市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a)}^{4} = a^{4}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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2. 已知不等式组 ${\begin{cases} \end{cases} \begin{array}{l} x - 3 > 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}$ 其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 根据安徽省公布的十三五铁路建设规划，到2021年，全省铁路建设总投资4370亿元．其中4370亿用科学记数法表示为（）

A、 $4.37 \times 10^{3}$ B、 $43.7 \times 10^{10}$ C、 $4.37 \times 10^{11}$ D、 $0.437 \times 10^{12}$

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4. 某企业今年3月份产值为 $a$ 万元，4月份比3月份减少了 $10 %$ ，5月份比4月份增加了 $15 %$ ，则5月份的产值是（）

A、 $(a - 10 %) (a + 15 %)$ 万元 B、 $a (1 - 10 % + 15 %)$ 万元 C、 $(a - 10 % + 15 %)$ 万元 D、 $a (1 - 10 %) (1 + 15 %)$ 万元

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5. 如图所示， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，线段 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $B C$ ，若 $∠ P = 36^{°}$ ，则 $∠ B$ 等于（）.

A、27° B、32° C、36° D、54°

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6. 某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（）

A、众数是9小时 B、中位数是9小时 C、平均数是9小时 D、锻炼时间不低于9小时的有14人

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7. 如图．在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $D E$ 垂直平分斜边 $A C$ ，交 $A B$ 于 $D$ ， $E$ 是垂足，连接 $C D$ ，若 $B D = 1$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象中，某同学观察得出了下面四条信息：（1） $b^{2} - 4 a c > 0$ ；（2） $c > 1$ ；（3） $2 a - b < 0$ ；（4） $a + b + c < 0$ ；（5） $a b c > 0$ 你认为其中错误的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. $(m^{2} + n^{2}) (m^{2} + n^{2} - 2) - 8 = 0$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ =（）

A、4 B、2 C、4或－2 D、4或2

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10. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{2} - b^{2} - 2 b - 1 =$ ．

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12. 如图，在△ABC中，DE $/ /$ AB，CD：DA=2：3，DE=4，则AB的长为．

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13. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ C A B = 60 °$ ，弦 $A D$ 平分 $∠ C A B$ ，若 $A D = 6$ ，则 $A C =$ ．

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14. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为．

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三、解答题

15. $2 \cos 60 ° + {(- \sqrt{3})}^{0} + {(\tan 45 °)}^{- 1} + \sqrt[3]{- 8}$

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16. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？

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17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(1)、先作 $△ A B C$ 关于直线1成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以图中的 $O$ 为位似中心，将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 作位似变换，且放大到原来的两倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；并求出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积．

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18. 如图，佛山电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖 $C$ 的仰角是 $45 °$ ，而塔底部 $D$ 的俯角是 $30 °$ ，求佛山电视塔 $C D$ 的高度（ $\tan 30 ° = 0.600$ 结果精确到1米）

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19. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D。

(1)、求证：BE＝CF ；

(2)、当四边形ACDE为菱形时，求BD的长。

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20. 孙明和王军两人去桃园游玩，返回时打算顺便买些新鲜油桃．此时桃园仅三箱油桃，价钱相同，但质量略有区别，分为 $A_{1}$ 级、 $A_{2}$ 级、 $A_{3}$ 级，其中 $A_{1}$ 级最好， $A_{3}$ 级最差．挑选时，三箱油桃不同时拿出，只能一箱一箱的看，也不告知该箱的质量等级．
两人采取了不同的选择方案：

孙明无论如何总是买第一次拿出来的那箱．

王军是先观察再确定，他不买第一箱油桃，而是仔细观察第一箱油桃的状况；如果第二箱油桃的质量比第一箱好，他就买第二箱油桃，如果第二箱的油桃不比第一箱好，他就买第三箱．

(1)、三箱油桃出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？

(2)、孙明与王军，谁买到 $A_{1}$ 级的可能性大？为什么？

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21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、若sin∠EFA= $\frac{4}{5}$ ，AF= $5 \sqrt{2}$ ，求线段AC的长.

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22. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 上一点，点 $G$ 在 $B E$ 上，连接 $D G$ 并延长交 $A E$ 于点 $F$ ，且 $∠ E G D = 135 °$ ．

(1)、求证： $△ B G D ∽ △ B C E$ ；

(2)、求证： $∠ A G B = 90 °$ ；

(3)、如图2，连接 $D E$ ，若 $A B = 10$ ， $A G = 2 \sqrt{5}$ ，判断 $△ C D E$ 是否为特殊三角形，并说明理由．

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23. 在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的图象经过点B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；

(3)、如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

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