辽宁省抚顺市新抚区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象上的点是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(- 6 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 已知 $∠ α$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ α =$ （）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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3. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在某一时刻，测得一根高为 $1.8 m$ 的竹杆的影长为 $3 m$ ，同时测得一栋楼的影长为 $90 m$ ，则这栋楼的高度为（）

A、 $54 m$ B、 $135 m$ C、 $150 m$ D、 $162 m$

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6. 如图，双曲线 $y = - \frac{3}{x} (x < 0)$ 经过 $▱ O A B C$ 的对角线交点D，已知边 $O C$ 在y轴上，且 $A C ⊥ O C$ 于点C，则 $▱ O A B C$ 的面积是（）

A、3 B、4 C、6 D、12

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ ，若 $A D = 4 ， D B = 8 ， D E = 3$ ，则 $B C$ 长为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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8. 如图，点A为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B，点C为x轴上的一个动点， $△ A B C$ 的面积为3，则 k的值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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9. 把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP=x，DQ=y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{2} \sin 45 ° + \cos 60 ° =$ ．

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12. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A (- 4, - 3)$ ，则这个反比例函数的解析式是．

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13. 若点 $A (a, b)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，则代数式 $a b - 4$ 的值为．

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14. 一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 12 ， A C = 15 ， D$ 为 $A B$ 上一点，且 $A D = \frac{2}{3} A B$ ，在 $A C$ 边上取一点E，使以 $A ， D ， E$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，则 $A E$ 等于．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 15 ， A D = 8 ， E$ 为 $A B$ 边上一点，将 $△ B E C$ 沿 $C E$ 翻折，点B落在点F处，当 $△ A E F$ 为直角三角形时， $A E =$ ．

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17. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在 $y$ 轴、 $x$ 轴的正半轴上， $D$ 为 $A B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点 $D$ ，且与 $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $O D$ ， $O E$ ， $D E$ ，若 $Δ O D E$ 的面积为3，则 $k$ 的值为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{n}$ 在 x轴上， $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， \dots ， B_{n}$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，若 $A_{1} (2 ， 0)$ ，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2} ， △ A_{2} B_{2} A_{3} ， \dots ， △ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， \dots ， S_{n}$ ．则 $S_{n}$ 可表示为．

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三、解答题

19. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (3 ， 1) ， B (1 ， 2) ， C (4 ， 3)$ ．

(1)、以原点O为位似中心，在第一象限内将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，作出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的坐标；

(2)、P为第一象限的整点（横纵坐标都是整数的点）， $A P$ 平分 $∠ B A C$ ，直接写出点P的坐标．

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20. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

类别	A	B	C	D	E
类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	11	20	40	m	4

请你根据以上信息，回答下列问题：

(1)、统计表中m的值为，统计图中n的值为， A类对应扇形的圆心角为度；

(2)、该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

(3)、样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生.从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率.

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21. 如图，点C的坐标为 $(- 6 ， 0)$ ，点A在y轴正半轴上， $\cos ∠ A C O = \frac{3}{5} ， C B ⊥ C A$ ，且 $C B = \frac{1}{2} C A$ ．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点B．

(1)、求点A的坐标；

(2)、求反比例函数的解析式．

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的⊙ $O$ 分别交 $A C ， B C$ 于点 $D ， E$ ，点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上，且 $∠ B A C = 2 ∠ C B F$ .

(1)、求证： $B F$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若⊙ $O$ 的直径为3， $\sin ∠ C B F = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $B C$ 和 $B F$ 的长.

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23. 图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $A C = 40 cm$ ，灯罩 $C D = 30 cm$ ，灯臂与底座构成的 $∠ C A B = 60 °$ ． $C D$ 可以绕点C上下调节一定的角度，当 $∠ A C D = 150 °$ 时，点D到桌面的距离是多少？（精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

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24. “互联网 $+$ ”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4020元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？直接写出销售单价．

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25. 如图，过正方形 $A B C D$ 的顶点A作 $A P ⊥ A Q$ ，将 $∠ P A Q$ 绕点A旋转， $A P$ 交射线 $C B$ 交于点E， $A Q$ 交射线 $C D$ 交于点F，连接 $E F ， M$ 为 $E F$ 的中点，连接 $B M$ ．

(1)、求证： $A E = A F$ ；

(2)、写出 $C F$ 与 $B M$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $B C = 4 ， B E = 2$ ，直接写出 $B M$ 的长．

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26. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A ， B$ 两点，P为x轴上的动点，P与 $A ， O$ 不重合， $P C / / O B$ 交抛物线于C，交直线 $A B$ 于D，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $∠ B C D = 45 °$ 时，求点P的坐标；

(3)、当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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