辽宁省抚顺市抚顺县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = - \frac{3}{x}$ D、 $\frac{y}{x} = 4$

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2. $2 \cos 30 °$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 如图，从图甲到图乙的变换是（）

A、轴对称变换 B、平移变换 C、旋转变换 D、相似变换

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4. 下列现象是物体的投影的是（）

A、小明看到镜子里的自己 B、灯光下猫咪映在墙上的影子 C、自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D、掉在地上的树叶

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5. 矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图1，放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2所示，则其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（）

A、∠A=∠B B、∠A+∠B=90° C、∠A+∠B＞90° D、∠A+∠B的值无法确定

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高， $∠ A \neq 45 °$ ，则下列比值中等于 $\sin A$ 的是（）

A、 $\frac{A D}{A C}$ B、 $\frac{B D}{B C}$ C、 $\frac{C D}{C B}$ D、 $\frac{C B}{A C}$

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9. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 $A B$ ，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度 $C H$ 为900m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 $A B$ 为（）

A、 $300 m$ B、 $300 \sqrt{3} m$ C、 $(900 + 300 \sqrt{3}) m$ D、 $(900 - 300 \sqrt{3}) m$

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10. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子 $C D$ 的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子 $E F$ 的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度 $A B$ 等于（）

A、4.5m B、6m C、7.5m D、8m

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二、填空题

11. 如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象位于第二、第四象限内，则k ．

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12. 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么 $\frac{B C}{C E}$ 的值等于．

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13. 若点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 都是反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 图象上的点，并且 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“>”，“<”或“=”）

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14. 一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是号窗口．

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15. 如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是．

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16. 如图，在正方形网格中有3个斜三角形：① $△ A B C$ ；② $△ C D B$ ；③ $△ D E B$ ；其中能与 $△ A B C$ 相似的是．（ $△ A B C$ 除外）

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17. 某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 $A C$ 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得 $∠ C A B = 30 °$ ， $A B = 4 km$ ， $∠ A B D = 105 °$ ，则 $B D$ 的长为．（结果保留根号）

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18. 如图，分别过x轴上点 $A_{1} (1 ， 0)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ ，……， $A_{n} (n ， 0)$ 作x轴的垂线，与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象的交点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，……， $B_{n}$ ，若 $△ A_{1} B_{1} A_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A_{2} B_{2} A_{3}$ 的面积为 $S_{2}$ ，……， $△ A_{n} B_{n} A_{n + 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．（用含n的式子表示）

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三、解答题

19. 先化简，再求值：
$(\frac{1}{x - y} - \frac{2}{x^{2} - x y}) \div \frac{x - 2}{x}$ ，其中 $x = \cos 60 ° + \sqrt{2} \sin 45 °$ ， $y = \sqrt{3} \sin 60 ° - \tan 45 °$ ．

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20. 教师办公室有一台可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热．每分钟水温上升10℃，待加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温y（℃）和通电时间x（ $min$ ）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（ $min$ ）之间的关系如图所示，回答下列问题：

(1)、分别求出当 $0 \leq x \leq 8$ 和 $8 < x \leq a$ 时，y和x之间的函数关系式；

(2)、求出图中a的值；

(3)、李老师这天7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在通电多长时间内接水？

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21. 如图， $△ A B C$ 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 $A (0 ， 3)$ ， $B (3 ， 4)$ ， $C (2 ， 2)$ （正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于x轴成轴对称，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $C_{1}$ 点的坐标；

(2)、以点 $B_{1}$ 为位似中心，将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 放大得到 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ，放大前后的面积之比为 $1 ： 4$ ，画出 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ，使它与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 在位似中心同侧，并写出 $C_{2}$ 点的坐标；

(3)、连接 $A C_{2}$ 、 $C C_{2}$ ，判断 $△ A C C_{2}$ 的形状并直接写出结论．

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22. 某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．

(1)、由三视图可知，密封纸盒的形状是；

(2)、根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；

(3)、请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）

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23. 在数学综合实践活动上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得 $B C // A D$ ，斜坡 $A B$ 的长为6m，坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ 是指坡面的铅直高度 $B F$ 与水平宽度 $A F$ 的比，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4m．

(1)、求斜坡 $A B$ 的坡角 $α$ 的度数；

(2)、求旗杆顶端离地面的高度 $E D$ ．
（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ，结果精确到1m）

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24. 如图1，已知双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ （ $k_{1} > 0$ ）与直线 $y_{2} = k_{2} x$ 交于A、B两点，点A的坐标为 $(3 ， 1)$ ，回答下列问题：

(1)、点B的坐标为；当x满足时， $y_{1} \leq y_{2}$ ；

(2)、如图2，过原点O作另一条直线，交双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ （ $k_{1} > 0$ ）于P、Q两点，点P在第一象限，
①若点Ｐ的横坐标为1，求 $△ A O P$ 的面积；

②四边形 $A P B Q$ 一定是什么图形；

③四边形 $A P B Q$ 可能是正方形吗？若可能，请直接写出你的结论；若不可能，请说明理由．

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25. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C$ ，点E是直线 $A B$ 上的一点，点F是直线 $B C$ 上的一点，且满足 $A E = 2 C F$ ，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点G．

(1)、 $\tan ∠ C A B =$ ；

(2)、如图1，当点E在 $A B$ 上，点F在线段 $B C$ 的延长线上时，
①求证： $E G = F G$ ；

②求证： $C G = \frac{\sqrt{5}}{4} B E$ ；

(3)、如图2，当点E在 $B A$ 的延长线上，点F在线段 $B C$ 上时， $A C$ 与 $D F$ 相交于点H，
① $E G = F G$ 这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：

②当 $C F = 1$ ， $B F = 2$ 时，请直接写出 $G H$ 的长．

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26. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 、点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．

(1)、抛物线的解析式为：；直线 $B C$ 的解析式为：；

(2)、若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设 $△ P B C$ 的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；

(3)、在（2）的条件下，过点P作 $P E ⊥ x$ 轴于点E，交直线 $B C$ 于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与 $△ B F C$ 相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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