辽宁省本溪市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. －3的相反数是（）

A、－3 B、3 C、±3 D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} + a = 3 a^{3}$ B、 $2 a^{3} \cdot (- a^{2}) = 2 a^{5}$ C、 $4 a^{6} \div 2 a^{2} = 2 a^{3}$ D、 ${(- 3 a)}^{2} - a^{2} = 8 a^{2}$

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3. 下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、平行四边形 C、等腰三角形 D、矩形

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4. 2020年是不寻常的一年，病毒无情人有情，很多最美逆行者奔赴疫情的前线，不顾自己的安危令我们感动.宣传委员小明在一个正方体的每个面上分别写上一个汉字，组成“共同抗击疫情”.如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与汉字“抗”相对的面上的汉字是（）

A、共 B、同 C、疫 D、情

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5. 已知 $x = 2$ 是方程 $x^{2} - p x + 2 = 0$ 的一个实数根，那么p的值是（）

A、3 B、1 C、－3 D、－1

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6. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为（）

A、7 B、4 C、3.5 D、3

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7. 下列事件是必然事件的是（）

A、抛掷一次硬币，正面向下 B、在13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同 C、某射击运动员射击一次，命中靶心 D、任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”

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8. 某工厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）

A、 $\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{1.5 x} + 1$ B、 $\frac{180 - x}{x} = \frac{180 - x}{15 x} - 1$ C、 $\frac{180}{x} = \frac{180}{1.5 x} + 2$ D、 $\frac{180}{x} = \frac{180 - x}{1.5 x} - 2$

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9. 如图，平行四边形 $O A B C$ 的顶点A在x轴的正半轴上，点 $D (3 ， 2)$ 在对角线 $O B$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图像经过C、D两点.已知平行四边形 $O A B C$ 的面积是 $\frac{15}{2}$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(4 ， \frac{8}{3})$ B、 $(\frac{9}{2} ， 3)$ C、 $(5 ， \frac{10}{3})$ D、 $(\frac{24}{5} ， \frac{16}{5})$

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $C A = C B = 5 cm$ ， $A B = 8 cm$ ．直线l经过点A且垂直于 $A B$ ．现将直线l以1 $cm/s$ 的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边 $A B$ 交于点M，与边 $A C$ （或 $C B$ ）交于点N．若直线l移动的时间是 $x (s)$ 、 $△ A M N$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，则y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 科学研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源．在我国某海域已探明的可燃冰储存量达150000000000立方来，其中数字150000000000用科学记数法可表示为．

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 \leq 3 \\ x + 1 > 2 \end{array}$ 的解集为．

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13. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有实数根，则k的最大整数值是．

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14. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共24个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 $\frac{3}{8}$ ，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是.

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15. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $△ A B O$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 4 ， 2)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $O (0 ， 0)$ ，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到 $△ C D O$ ，则点A的对应点C的坐标是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 在第一象限内，边 $B C$ 与 $x$ 轴平行， $A$ ， $B$ 两点的纵坐标分别为 $4$ ， $1$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过 $A$ ， $B$ 两点，菱形 $A B C D$ 的面积为 $9 \sqrt{2}$ ，则 $k$ 的值为．

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17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长＝．

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18. 如图，已知直线 $l ： y = - x + 4$ ，在直线l上取点 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 分别向x轴，y轴作垂线，交x轴于 $A_{1}$ ，交y轴于 $C_{1}$ ，使四边形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正方形；在直线l上取点 $B_{2}$ ，过 $B_{2}$ 分别向x轴， $A_{1} B_{1}$ 作垂线，交x轴于 $A_{2}$ ，交 $A_{1} B_{1}$ 于 $C_{2}$ ，使四边形 $A_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ 为正方形；按此方法在直线l上顺次取点 $B_{3} ， B_{4} ， ... B_{n}$ ，依次作正方形 $A_{2} A_{3} B_{3} C_{3}$ ， $A_{3} A_{4} B_{4} C_{4}$ ，…， $A_{n - 1} A_{n} B_{n} C_{n}$ ，则 $B_{5}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a}$ ，其中 $a = 2 - \sqrt{2}$ ．

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20. 在抗击新型冠状病毒疫情期间，各学校在推迟开学时间的同时开展“停课不停学”的网络教学模式，针对远程网络教学，某学校为学生提供四类在线学习方式：A（在线阅读）、B（在线听课）、C（在线答疑）、D（在线讨论），为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每人只能选一类），并根据调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．

(1)、本次调查的人数有人，C在扇形统计图中的圆心角度数为度；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若该校共有学生2400人，请你估计对“在线听课”最感兴趣的学生人数；

(4)、小明和小强都参加了此次调查，都选择一种学习方式，请用树状图法或列表法求出小明和小强选择同一种学习方式的概率．

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21. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 6$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．

(1)、求证：四边形AMDN是平行四边形；

(2)、①当AM的值为 ▲ 时，四边形AMDN是矩形；
②若 $A M = 6$ ，求证：四边形AMDN是菱形．

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22. 某药店销售每只进价分别为1.2元、1.7元的A、B两种型号的口罩，下表是近两天的销售情况：

销售时段	销售数量		销售额
销售时段	A种型号	B种型号	销售额
第一天	300只	500只	2100元
第二天	400只	1000只	3800元

(1)、求A、B两种型号口罩的销售单价；

(2)、该药店准备再次采购这两种型号的口罩共15000只．如果全部售出后的利润不少于16000元，那么最多采购A种型号的口罩多少只？（进价、售价均保持不变，利润＝销售总额﹣进货成本）

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23. 如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm ，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．

(1)、转动连杆BC ， CD ，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE ．

(2)、将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？

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24. 某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

(1)、请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

(2)、求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

(3)、由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

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25. $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $△ A D E$ 是直角三角形， $∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A D E = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ．连接 $B D$ ， $B E$ ，点F是 $B D$ 的中点，连接 $C F$ ．

(1)、当 $∠ C A B = 45 °$ 时，
①如图a，当点D在边 $A C$ 上时，请直接写出 $∠ E A B$ 与 $∠ C B A$ 的数量关系是 ▲ ，线段 $B E$ 与线段 $C F$ 的数量关系是 ▲ ；

②如图b，当点D在边 $A B$ 上时，①中线段 $B E$ 与线段 $C F$ 的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

(2)、如图c，当 $∠ C A B = α ° (0 ° < α < 90 °)$ 时，当点D在边 $A C$ 上时，直接写出线段 $B E$ 与线段 $C F$ 的数量关系．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 交x轴，y轴于A，C两点，二次函数 $y = a x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + c$ 的图象经过A，C两点，与x轴另一个交点是B．动点P从A点出发，沿 $A B$ 以每秒2个单位长度的速度，向终点B运动，过点P作 $P D ⊥ A C$ 于点D．（点P不与点A，B重合）作 $∠ D P Q = 60 °$ ，边 $P Q$ 交射线 $D C$ 于点Q．设P点运动时间为t．

(1)、求二次函数关系式；

(2)、设 $△ P D Q$ 与 $△ A B C$ 重叠面积为S，求S与t之间函数关系；

(3)、拋物线上是否存在点M，使 $∠ A B M = ∠ B A C$ ，若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．

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