辽宁省鞍山市铁西区2021年中考数学3月模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1.
如图放置的几何体的左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 纳米是非常小的长度单位，已知1纳米= $10^{- 6}$ 毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（）

A、10² 个 B、10⁴ 个 C、10⁵个 D、10⁸个

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3. 如图，直线l₁//l₂ ，点A在直线l₁上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l₁、l₂于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（）

A、36° B、54° C、72° D、73°

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x^{2} + 4 x^{2} = 7 x^{4}$ B、 $2 x^{3} \cdot 3 x^{3} = 6 x^{3}$ C、 $2 a \div 2 a^{- 2} = a^{3}$ D、 ${(- \frac{1}{2} a^{2} b)}^{3} = - \frac{1}{6} a^{6} b^{3}$

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5. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，半径为 $2 cm$ ，若 $B C = 2 cm$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、30° B、25° C、15° D、10°

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6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（）

A、1.65、1.70 B、1.65、1.75 C、1.70、1.75 D、1.70、1.70

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7. 如图，在△ABC中，AB＝ $\sqrt{6}$ ，AC＝ $\sqrt{3}$ ，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB₁C₁ ，连接BC₁ ，则BC₁的长为（）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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8. 如图， $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ， $∠ A = 30^{\circ}$ ， $AB = 16$ ，点P是斜边AB上任意一点，过点P作 $PQ ⊥ AB$ ，垂足为P，交边 $AC ($ 或边 $CB)$ 于点Q，设 $AP = x$ ， $△ APQ$ 的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 分解因式： $- 2 a^{3} + 2 a =$

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10. 关于x的一元二次方程 $m x^{2} - 8 x + 16 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的范围

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11. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．

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12. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为

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13. 如图，等腰Rt△ABP的斜边AB=2，点M、N在斜边AB上．若△PMN是等腰三角形且底角正切值为2，则MN＝．

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14. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边中点，连接 $C E$ ，将 $Δ C D E$ 沿 $C E$ 翻折，得到 $Δ C E F$ ，延长 $E F$ 分别交 $A B$ 、 $C B$ 延长线于 $N$ 、 $G$ 两点，连接 $A F$ ，延长 $A F$ 交 $C B$ 边于点 $H$ ，则下列正确的有
①四边形 $A H C E$ 为平行四边形；② $\sin ∠ F C B = \frac{3}{5}$ ，③ $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{Δ C F H}} = \frac{3}{4}$ ，④ $\frac{B N}{A F} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ；

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16. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为2，顶点 $B$ 与原点 $O$ 重合，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，过点 $B$ 作 $B A_{1} ⊥ A C$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} / / O A$ ，交 $O C$ 于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A C$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} / / O A$ ，交 $O C$ 于点 $B_{2}$ ；……，按此规律进行下去，点 $A_{2021}$ 的坐标是

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三、解答题

17. 先化简（ $\frac{x^{2}}{x + 1}$ －x＋1）÷ $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，再从－1，0，1中选择合适的x值代入求值．

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18. 如图， $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2 ， 3)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (5 ， 4)$ ．

(1)、画出 $Δ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以点 $P (1 ， - 1)$ 为位似中心，在如图所示的网格中画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的位似图形 $Δ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，使 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的相似比为2：1；

(3)、画出 $Δ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 的 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出线段 $B C$ 扫过的面积

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19. 某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程： $A$ .绘画； $B$ .唱歌； $C$ .跳舞； $D$ .演讲； $E$ .书法.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.

请结合统计图中的信息解决下列问题：

(1)、这次抽查的学生人数是多少人？

(2)、将条形统计图补充完整.

(3)、求扇形统计图中课程 $E$ 所对应扇形的圆心角的度数.

(4)、如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程 $D$ 的学生约有多少人.

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20. 疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温．

(1)、甲同学在A入口处测量体温的概率是；

(2)、求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）

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21. 如图，小岛 $A$ 在港口 $P$ 的南偏西 $37 °$ 方向，距离港口81海里处，甲船从 $A$ 出发，沿 $A P$ 方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 $P$ 出发，沿南偏东 $60 °$ 方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（ $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

(1)、出发后几小时两船与港口 $P$ 的距离相等？

(2)、出发后几小时乙船在甲船的正东方向？

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22. 如图，直线y₁=﹣x+4，y₂= $\frac{3}{4}$ x+b都与双曲线y= $\frac{k}{x}$ 交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、直接写出当x＞0时，不等式 $\frac{3}{4}$ x+b＞ $\frac{k}{x}$ 的解集；

(3)、若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

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23. 如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且 $\overset{⌢}{A N}$ ＝ $\overset{⌢}{B N}$ ，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F.

(1)、求证：MF是⊙O的切线；

(2)、若CN＝3，BN＝4，求CM的长.

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24. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)、若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

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25.

(1)、证明推断：如图（1），在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $Q$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ 上， $D Q ⊥ A E$ 于点 $O$ ，点 $G$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $A B$ 上， $G F ⊥ A E$ ．求证： $F G = A E$ ；

(2)、类比探究：如图（2），在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{B C}{A B} = \frac{2}{3}$ 将矩形 $A B C D$ 沿 $G F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $E F G P$ ， $E P$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，连接 $A E$ 交 $G F$ 于点 $O$ ．试探究 $G F$ 与 $A E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展应用：在（2）的条件下，连接 $C P$ ，若 $\frac{B E}{B F} = \frac{3}{4}$ ， $G F = 2 \sqrt{10}$ ，求 $C P$ 的长．

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26. 如图（1）在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ （ $a \neq 0$ ）交 $x$ 轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，连接 $A C$ ，点 $P$ 是抛物线一点且位于直线 $B C$ 上方，作 $P M$ 平行于 $y$ 轴交 $B C$ 于点 $M$

(1)、求抛物线解析式并直接写出直线 $B C$ 解析式

(2)、求 $P M + \frac{4}{5} M C$ 的最大值及点 $P$ 坐标

(3)、在抛物线对称轴上是否存在点 $N$ ，使 $∠ C N B = ∠ C A B$ ，若存在请直接写出点 $N$ 坐标；若不存在请说出理由

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成绩/m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1