辽宁省鞍山市千山区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个实数中，最小的是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

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2. 如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全一致的是（）

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、三视图

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 65 °$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 旋转到 $△ A B' C'$ 的位置，使得 $C C' / / A B$ ，则 $∠ B A B'$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9} = 6$ C、 $8 \sqrt{3} \div 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = 2 - \sqrt{5}$

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5. “天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $1496 \times 10^{5}$ B、 $1496 \times 10^{8}$ C、 $1.496 \times 10^{5}$ D、 $1.496 \times 10^{8}$

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6. 如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）

A、6 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、3

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7. 已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，与对角线 $B D$ 相交于点 $N$ ， $F$ 是线段 $C E$ 的中点，则下列结论中：① $O F = \frac{5}{6}$ ；② $O N = \frac{25}{26}$ ；③ $S_{Δ C O N} = \frac{15}{13}$ ；④ $\sin ∠ A C E = \frac{5}{13}$ ，正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是边形．

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10. 分解因式： $a^{2} b - 4 a b^{2} + 4 b^{3} =$ ．

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11. 使式子 $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是：。

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12. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - 4 = 0$ 的两个根，且 $x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} = - 7$ ，则b的值为．

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中，M，N分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点，连接 $M N$ ，点E是 $C N$ 的中点，连接 $M E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点D，若 $B C = 4$ ，则 $C D$ 的长为.

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14. 若一次函数 $y = 2 x + 2$ 的图象经过点 $(3 ， m)$ ，则 $m =$ .

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15. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝.

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16. 如图，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 1$ 与直线 $l_{3}$ ： $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 在 $x$ 轴上相交于点 $P (- 1 ， 0)$ ．直线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ．一动点 $C$ 从点 $A$ 出发，先沿平行于 $x$ 轴的方向运动，到达直线 $l_{2}$ 上的点 $B_{1}$ 处后，改为垂直于 $x$ 轴的方向运动，到达直线 $l_{1}$ 上的点 $A_{1}$ 处后，再沿平行于 $x$ 轴的方向运动，到达直线 $l_{2}$ 上的点 $B_{2}$ 处后，又改为垂直于 $x$ 轴的方向运动，到达直线 $l_{1}$ 上的点 $A_{2}$ 处后，仍沿平行于 $x$ 轴的方向运动，…照此规律运动，动点 $C$ 依次经过点 $B_{1}$ ， $A_{1}$ ， $B_{2}$ ， $A_{2}$ ， $B_{3}$ ， $A_{3}$ ，…则当动点 $C$ 到达 $B_{6}$ 处时，点 $B_{6}$ 的坐标为．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2}}{x - 1} - x + 1) \div \frac{4 x^{2} - 4 x + 1}{1 - x}$ ，其中 $x = \sqrt[3]{27} - \tan 45^{°}$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = a ， A D$ 是边 $B C$ 上的中线，延长 $A D$ 到点 $E$ ，将线段 $A E$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转 $a$ 度得到线段 $A F ，$ 连接 $C E 、 C F$ ．求证： $C E = C F$ ．

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19. 某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了

m

名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为

A ， B ， C ， D

四个组别，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

频数分布表

组别	时间/（小时）	频数/人数
A	$0 \leq t < 0.5$	2n
B	$0 \leq t < 1$	20
C	$1 \leq t < 1.5$	$n + 10$
D	$t \geq 1.5$	5

请根据图表中的信息解答下列问题：

(1)、求

m

与

n

的值，并补全扇形统计图；

(2)、直接写出所抽取的

m

名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；

(3)、该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时.

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20. 2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，江阴初级中学开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，在3个人工测体温通道中，可随机选择其中的一个通过．

(1)、求小孙进校园时，由王老师测体温的概率；

(2)、求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．

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21. 如图①，图②分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 $D E$ 、箱长 $B C$ 、拉杆 $A B$ 的长度都相等，即 $D E = B C = A B$ ，点 $B$ 、 $F$ 在线段 $A C$ 上，点 $C$ 在 $D E$ 上，支杆 $D F = 30 cm$ ， $C E ： C D = 1 ： 3$ ， $∠ D C F = 45 °$ ， $∠ C D F = 30 °$ ．
请根据以上信息，解决下列问题；

(1)、求 $A C$ 的长度（结果保留根号）；

(2)、求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $E D$ 的距离（结果保留到 $1 cm$ ）．
参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ．

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22. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（4，n）．

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，过点 $C$ 的直线与 $A B$ 的延长线交于点 $P$ ， $A C = P C$ ， $∠ C O B = 2 ∠ P C B$ ．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、点 $M$ 是弧 $A B$ 的中点，连 $M A$ ， $M B$ ， $C M$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，若 $A B = 4$ ，求 $M N \cdot M C$ 的值．

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24. 某网店销售一种产品.这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/件市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：

(1)、当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式；

(2)、求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式并求出每件销售价为多少元时.每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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25. 在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．

(1)、如图 1，若∠BAD=∠BDC，求证：BD²=AB•BC；

(2)、如图2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，
①若∠ABC=90°，AB= $\frac{15}{4}$ ，BC=8，求BD的长；

②若BC=3CD=3a，BD=9，则 AB 的长为 ▲ ．（用含 a 的代数式表示）．

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26. 抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边），交 $y$ 轴于 $C$ ，直线 $y = - x + 4$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1， $P$ 为直线 $B C$ 上方的抛物线上一点， $P D / / y$ 轴交 $B C$ 于 $D$ 点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于 $E$ 点．设 $m = P D + \frac{10}{21} D E$ ，求 $m$ 的最大值及此时 $P$ 点坐标；

(3)、如图2，点 $N$ 在 $y$ 轴负半轴上，点 $A$ 绕点 $N$ 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点 $M$ 处，且 $∠ A N M + ∠ A C M = 180 °$ ，求 $N$ 点坐标．

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