黑龙江省哈尔滨市阿城区2021年中考数学4月模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算（﹣3）+5的结果等于（）

A、2 B、﹣2 C、8 D、﹣8

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{5})}^{2} = a^{7}$ B、 $a + 2 a = 3 a^{2}$ C、 ${(2 a)}^{3} = 6 a^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$

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3. 下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将抛物线y=﹣5x²+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）

A、y=﹣5（x+1）²﹣1 B、y=﹣5（x﹣1）²﹣1 C、y=﹣5（x+1）²+3 D、y=﹣5（x﹣1）²+3

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6. 如图，⊙O中，CD是切线，切点是D ，直线CO交⊙O于B、A ， ∠A＝20°，则∠C的度数是（）

A、25° B、65° C、50° D、75°

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7. 若双曲线 $y = \frac{k + 1}{x}$ 图象的一个分支于第四象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < - 1$ B、 $k < 1$ C、 $k < 0$ D、 $k \leq 0$

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8. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）

A、500sinα米 B、 $\frac{500}{\sin a}$ 米 C、500cosα米 D、 $\frac{500}{\cos a}$ 米

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9. 如图，已知点 $D$ 、 $E$ 分别在 $Δ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E / / B C$ ，点 $F$ 在 $C D$ 延长线上， $A F / / B C$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{D E}{A F} = \frac{A F}{B C}$ B、 $\frac{F D}{A E} = \frac{D C}{E C}$ C、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ D、 $\frac{B D}{A B} = \frac{D E}{A F}$

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10. 一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 $y$ （千米）与慢车行驶时间 $t$ （小时）之间函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000 $K B$ 以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒，将1300000用科学记数法表示应为．

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12. 函数y= $\frac{x - 1}{x}$ 中自变量x的取值范围是．

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13. 分解因式： $(x + 2) x - (x + 2) =$ ；

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14. 计算： $\sqrt[3]{27} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{8}$ 的结果是；

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15. 不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 \leq 2 - 2 x \\ \frac{2 x}{3} > \frac{x - 1}{2} \end{matrix}$ 的解集是．

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16. 半径为6的扇形的面积为 $12 π$ ，则该扇形的圆心角为；

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17. 一个不透明的袋子中装有4个红球，3个白球，2个黄球，这些小球除颜色不同外，其它都相同，从袋子中随机摸出1个小球，则摸出红球的概率是．

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18. 某商场分别用2000元和2400元购进相同数量的甲、乙两种商品，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，则甲种商品每件进价为元；

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19. $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在直线 $A C$ 上， $D E ⊥ B C$ ，垂足是 $E$ ， $\cos ∠ C B D = \frac{5}{6}$ ， $B C = 6$ ， $C E = 1$ ，则 $B D =$

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $A D$ 、 $B E$ 分别为 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线， $Δ A B E$ 的周长为20， $B D = 4$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求值：
$\frac{a - b}{a}$ ÷（a﹣ $\frac{2 a b - b^{2}}{a}$ ），其中a=3tan30°+1，b= $\sqrt{2}$ cos45°．

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22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格（下面所画三角形顶点都在小正方形顶点上）

(1)、在图1中画出以 $A B$ 为腰的等腰三角形 $A B C$ ，使 $A B = A C$ ， $S_{Δ A B C} = 7.5$ ，并且直接写出 $B C$ 的长；

(2)、在图2中画出一个以 $D E$ 为斜边的直角三角形 $D E F$ ，使 $\tan ∠ F D E = \frac{1}{2}$ ；

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23. 某数学小组将课外书大概分四类：“文学名著”、“科普”、“人文社科”和“猎奇类”，在校内对你最喜欢读的一类书进行调查，随机调查了若干人（每名学生必选一种且只能从这四项中选择一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

(1)、求本次共抽查了多少名学生；

(2)、请补全条形统计图，并求出“科普”类书在扇形统计图中圆心角的度数；

(3)、若该学校共有2000名学生，请你估计最喜欢读“猎奇类”书的学生有多少名？

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24. 已知：四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $∠ B A C = ∠ D C A$ ， $∠ D A C = ∠ B C A$ ， $∠ B A C + ∠ A C B$ $= 90 °$ ．

(1)、如图，求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

(2)、如图，将 $△ A B C$ 沿着对角线 $A C$ 翻折得到 $△ A E C$ ， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，请直接写出图中所有的全等三角形．

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25. 为更好地推进我市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

(1)、求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

(2)、该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，则该小区最多可以购买B型垃圾箱多少个．

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26. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $E$ ，弧 $A B =$ 弧 $B C$ ．

(1)、如图，求证： $∠ B A D = ∠ B E A$ ；

(2)、如图，点 $F$ 是弧 $A D$ 上一点，连接 $F B$ 分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $S$ 、 $G$ ，连接 $F C$ 分别交 $A D$ 、 $B D$ 于 $M$ 、 $N$ ，若 $∠ F B D + ∠ F M D = 180 °$ ，求证： $D G = A G + C D$ ；

(3)、如图，在（2）的条件下， $R$ 是 $C D$ 上一点，连接 $F R$ 分别交 $A D$ 、 $B D$ 于 $P$ 、 $Q$ ，若 $∠ G F M = ∠ F P A$ ， $M N = N S$ ， $F P = 2 C N$ ， $F M = 2$ ，求 $C D$ 长．

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27. 如图，已知抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $O B = 20 C$ ．

(1)、如图1，求抛物线的解析式；

(2)、如图2，若 $P$ 是第一象限抛物线上的一点，连接 $A C$ 、 $P A$ 、 $P C$ ， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ， $Δ P A C$ 的面积是 $S$ ， $P$ 点横坐标是 $t$ ，求出 $S$ 与 $t$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $D$ 是 $y$ 轴的负半轴上的点，连接 $P D$ 、 $A D$ ， $P D$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，当 $S = 2$ 时，将线段 $P D$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P E$ ，射线 $E B$ 与 $A D$ 交于点 $R$ 、与 $P D$ 交于点 $N$ ，若 $\tan ∠ A P D = \frac{3}{5}$ ，求 $R$ 点坐标．

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