广东省广州市天河区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021的相反数是（）

A、 $- 2021$ B、2021 C、 $- \frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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3. 人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（）

A、8.3×10⁶公里 B、8.3×10⁵公里 C、8.3×10⁴公里 D、0.83×10⁶公里

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4. 已知 $⊙$ O与点P在同一平面内，如果 $⊙$ O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（）

A、点P在 $⊙$ O上 B、点P在 $⊙$ O内 C、点P在 $⊙$ O外 D、无法判断点P与 $⊙$ O的位置关系

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 $\sqrt{12} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 3 \tan 30^{°} - | \sqrt{3} - 2 |$ C、 $\frac{a}{a - 2} + \frac{2}{2 - a} = 1$ D、 ${(- 2 a^{2} b)}^{3} = - 6 a^{6} b^{3}$

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6. 若方程x²-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（）

A、c=10 B、c=5 C、c=-5 D、c=4

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7. 若分式 $\frac{| x | - 5}{x^{2} - 4 x - 5}$ 的值为0，则x的值为（）

A、-5 B、5 C、-5和5 D、无法确定

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8. 已知a= $\sqrt{2} - 1$ ，b= $\sqrt{2} + 1$ ，则a²+b²的值为（）

A、8 B、1 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝ $\frac{a b}{x}$ 与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）

A、 $\sqrt{3}$ r B、（1+ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）r C、（1+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）r D、 $\sqrt{2}$ r

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二、填空题

11. 分解因式：x²+3x= ．

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12. 样本数据1，5，n，6，8的众数是1，则这组数的中位数是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点．若 $△ A D E$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ．则四边形 $D B C E$ 的面积为．

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14. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm² ，则该圆锥的母线长为cm.

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15. 在Rt $△$ ABC中，∠C=90°，sinB= $\frac{1}{3}$ ，若斜边上的高CD=2，则AC= ．

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16. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG= $\frac{1}{2}$ BC；③ $△$ OGE是等边三角形；④S_△AOE= $\frac{1}{6}$ S_矩形ABCD ，问：学习委员得到结论正确的是．（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 解方程组: ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ 2 x - y = 6 \end{array}$

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18. 已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC.求证：BC=EF.

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19. 五一期间，甲、乙两人计划在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．

(1)、填空：乙恰好游玩A景点的概率为．

(2)、求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．

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20. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．

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21. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°．

(1)、用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并作∠CBA的平分线BM；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、你认为（1）中的点D在射线BM上吗？请说明理由．

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22. 如图，直线MN与 $⊙$ O相切于点M，ME=EF且EF//MN．

(1)、求cos∠E的值：

(2)、若 $⊙$ O的半径为2．求图中阴影部分的面积．

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23. 如图，四边形ABCO是平行四边形，AO=2，AB=6，点A在第一象限，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．

(1)、求点A的坐标；

(2)、求k的值．

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24. 已知抛物线y=mx²-2mx+3（m<0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA．

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、若M，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且ΔBCN的面积恒小于 $△$ BCM的面积，求点M的坐标；

(3)、若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP，DP，分别交y轴于E，F，若EF= $\frac{1}{3}$ OC，求点P的坐标．

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25. 如图，ΔABC中，∠BAC $\geq$ 120°，AB=AC，点A关于直线BC的对称点为点D，连接BD，CD．

(1)、求证：四边形ABDC是菱形；

(2)、延长CA到E，使得AB=BE．求证：BC²-AC·CE=AC²；

(3)、在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a（定值），若BC=kAB，问k取何值时，BE·CE的值最大？

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