广东省佛山市桂城街道2021年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021的倒数是（）

A、 $- 2021$ B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 为在2020年实现全面建成小康社会的目标任务，自2016年以来，广东已向西部四省拔付财政资金105.8亿元援助脱贫攻坚项目．数据105.8亿用科学记数法表示为（）

A、 $105.8 \times 10^{8}$ B、 $10.58 \times 10^{9}$ C、 $1.058 \times 10^{10}$ D、 $1.058 \times 10^{11}$

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3. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球。从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90^{°}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点E，若 $B D = 3$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、6

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5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（）

A、图形的平移 B、图形的旋转 C、图形的轴对称 D、图形的相似

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6. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为（）

A、10° B、15° C、18° D、30°

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7. 下列等式成立的是（）

A、 $3 + 4 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3} \div \frac{1}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$

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8. 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 $x^{2}$ ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)

A、7 B、7或6 C、6或﹣7 D、6

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $C D$ 上一点，将 $Δ A D E$ 沿直线 $A E$ 翻折，使得点 $D$ 的对应点 $F$ 落在 $B C$ 边上．若 $A D = 4 ， ∠ D A E = 15 °$ ，则 $C E$ 的长度是（）

A、 $8 - 4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3} - 6$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、1

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10. 如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的动点， $C A ⊥ A B ， P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，连接 $A P$ ，设 $A P ＝ x ， P A ﹣ P D ＝ y$ ，则下列函数图象能反映 $y$ 与 $x$ 之间关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 分解因式：2a³﹣8a= ．

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12. 使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是.

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x + 2 > 0 \end{array}$ 的解集是.

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14. 某个函数具有性质：当 $x$ >0时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个正确的答案即可）

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15. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为（ $a ， 2 a - 3$ ），则a的值为．

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16. 如图，在边长为3的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $M$ 是 $A D$ 边上的一点，且 $A M = \frac{1}{3} A D$ ， $N$ 是 $A B$ 边上的一动点，将 $Δ A M N$ 沿 $M N$ 所在直线翻折得到 $Δ A' M N$ ，连接 $A' C$ ．则 $A' C$ 长度的最小值是．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， B C = 4$ ，一发光电子开始置于 $A B$ 边的点 $P$ 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 $P R$ 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与 $A B$ 边的碰撞次数是．

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三、解答题

18. 计算： $（ - 2 ）^{2} - \sqrt{9} + （ \sqrt{2} - 1 ）^{0} + （ \frac{1}{3} ）^{- 1}$

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19. 先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div \frac{1}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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20. 为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生.为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”.第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生.

第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表.

两个小组的调查结果如图的图表所示：

第二小组统计表

等级	人数	百分比
A	17	18.9%
B	38	42.2%
C	28	31.1%
D	7	7.8%
合计	90	100%

若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：

(1)、第小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约人；

(2)、对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议.

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21. “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

(1)、求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

(2)、若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

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22.

(1)、小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若 $P$ 是圆内接正三角形 $A B C$ 的外接圆的 $\overset{⌢}{B C}$ 上任一点，则 $∠ A P B = 60 °$ ，在 $P A$ 上截取 $P M = P C$ ，连接 $M C$ ，可证明 $Δ M C P$ 是（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到 $P C = M C$ ，再进一步证明 $△ P B C ≅$ ，得到 $P B = M A$ ，可证得：

(2)、小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若 $P$ 是圆内接正四边形 $A B C D$ 的外接圆的 $\overset{⌢}{B C}$ 上任一点，则 $∠ A P B = ∠ A P D =$ °，分别过点 $B ， D$ 作 $B M ⊥ A P$ 于 $M$ 、 $D N ⊥ A P$ 于 $N$ ．

(3)、写出 $P B ， P D$ 与 $P A$ 之间的数量关系，并说明理由．

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23. 如图， $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (x>0)图象上的一点，在 $x$ 轴正半轴上有一点 $B$ ， $O B = 4$ .连接 $O A$ ， $A B$ ，且 $O A = A B = 2 \sqrt{10}$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、过点 $B$ 作 $B C ⊥ O B$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (x>0)的图象于点 $C$ ，连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，求 $\frac{A D}{D B}$ 的值.

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24. 如图1， $A D ， B D$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $∠ B A C ， ∠ A B C$ 的平分线，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ ，交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ E = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

(2)、如图2，如果 $A E = A B$ ，且 $B D ： D E = 2 ： 3$ ，求 $\cos ∠ A B C$ 的值；

(3)、如果 $∠ A B C$ 是锐角，且 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 相似，求 $∠ A B C$ 的度数，并直接写出 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{Δ A B C}}$ 的值．

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25. 如图，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象过原点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $(8 ， 0)$

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上方作 $x$ 轴的平行线 $y_{1} = m$ ，交二次函数图象于 $A$ 、 $B$ 两点，过 $A$ 、 $B$ 两点分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为点 $D$ 、点 $C$ ．矩形 $A B C D$ 为正方形，求 $m$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿射线 $A B$ 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 $Q$ 以相同的速度从点 $A$ 出发沿线段 $A D$ 匀速运动，到达点 $D$ 时立即原速返回，当动点 $Q$ 返回到点 $A$ 时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，设运动时间为 $t$ 秒（ $t > 0$ ）．过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，交抛物线于点 $E$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ，当以 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，请求出 $t$ 的值．

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