安徽省合肥市蜀山区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 根据《九章算术》记载，中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、 $- π$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(- a)}^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 ${(- 2 a)}^{2} = - 4 a^{2}$

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3. 2021年2月22日，由嫦娥五号从月球带回的月壤样品首次公开亮相，并且即将在中国国家博物馆面向公众展出．已知地球与月球间的平均距离约为38.44万公里，其中38.44万用科学记数法表示为（）

A、 $3844 \times 10^{2}$ B、 $3.844 \times 10^{5}$ C、 $3.844 \times 10^{6}$ D、 $0.3844 \times 10^{6}$

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4. 由长方体和正方体组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 中考体育测试前，某校为了了解选报引体向上的九年级男生的成绩情况，随机抽测了部分九年级男生引体向上的成绩，并将测试的成绩制成了如下的统计表：

个数

13

14

15

16

人数

3

5

1

1

依据上表提供的信息，下列判断正确的是（）

A、众数是5 B、中位数是14.5 C、平均数是14 D、方差是8

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6. 某手机厂商一月份生产手机20万台，计划二、三月份共生产手机45万台，设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（）

A、 $20 {(1 + x)}^{2} = 45$ B、 $20 (1 + x) + 20 {(1 + x)}^{2} = 45$ C、 $20 (1 + 2 x) = 45$ D、 $20 + 20 (1 + x) + 20 {(1 + x)}^{2} = 45$

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于 $B D$ 的对称点P：②作射线 $P C$ 交 $B D$ 于点Q；③连接 $A Q$ ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（）

A、 $∠ P C B = ∠ A Q B$ B、 $∠ P C B < ∠ A Q B$ C、 $∠ P C B > ∠ A Q B$ D、以上三种情况都有可能

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8. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则下列选项中错误的说法是（）

A、 $k b < 0$ B、当 $x < 0$ 时， $y > b$ C、若点 $A (- 1 ， y_{1})$ 与 $B (2 ， y_{2})$ 都在直线 $y = k x + b$ 上，则 $y_{1} > y_{2}$ D、将函数图象向左平移1个单位后，图象恰好经过坐标原点，则 $k = b$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A D$ ，E为 $B D$ 中点，连接 $A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ，若 $B D = \frac{3}{2} C D = 6$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{41}}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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10. 如图是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，其对称轴为直线 $x = 1$ 且与x轴的一个交点坐标是 $(3 ， 0)$ ，则下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a + 2 b - c > 0$ ；④ $a m^{2} - a < b (1 - m)$ （m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 计算： $\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} =$ ．

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12. 如图，⊙O经过A，B，C三点， $P A ， P C$ 分别与⊙O相切于点A，C，若 $∠ P = 40 °$ ，点B在优弧 $A C$ 上，则 $∠ B$ 的度数为 $°$ ．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 的面积为6， $C D$ 在x轴上，且 $A B / / C D ， \frac{A B}{C D} = \frac{1}{2}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过四边形的顶点A，则k的值为．

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14. 如图是一张矩形纸片，点E是 $B C$ 边上一点，将 $△ E C D$ 沿 $D E$ 折叠，使点C落在矩形内的点 $C^{'}$ 处，当点 $C^{'}$ 恰好为矩形对角线中点时，则 $∠ C B D =$ $°$ ；当点 $C^{'}$ 落在对角线 $B D$ 上，若 $A ， C^{'} ， E$ 共线，且 $A D = 2$ 时，则 $C E$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{18} - {(- 2)}^{2} + {(2021 - π)}^{0}$

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16. 某校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知《诗经》每本20元，《孟子》每本14元，学校决定购买《诗经》和《孟子》共100本，总费用不超过1790元，那么该学校最多可以购买多少本《诗经》？

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17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $10 \times 10$ 的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 分别为A，B，C的对应点）

(2)、以点O为旋转中心将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；并写出在旋转过程中点 $A_{1}$ 到 $A_{2}$ 所经过的路径长为．（点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2}$ 分别为 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 的对应点）

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18. 观察与思考：我们知道， $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，那么 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}$ 结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

推算：

(1)、 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} =$ $^{2}$ ；

(2)、概括： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} =$ ；

(3)、拓展应用：求 $\frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + 100^{3}}{1 + 2 + 3 + \dots + 100}$ 的值．

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19. 如图，某数学兴趣小组要测量某购物广场大楼上安装的显示屏的高度，在点A处测得大楼上显示屏的顶端C点的仰角 $∠ B A C$ 为 $45 °$ ，底端D点的仰角 $∠ B A D$ 为 $30 °$ ，沿水平地面向前走20米到达E处，测得顶端C的仰角 $∠ B E C$ 为 $71.6 °$ ，点C，D，B在同一条竖直线上，求显示屏的高度 $C D$ 约为多少米？（结果精确到1米）

（参考数据： $\sin 71.6 ° \approx 0.95$ ， $\cos 71.6 ° \approx 0.36$ ， $\tan 71.6 ° \approx 3.00$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E， $A C$ 交 $D E$ 于点F．

(1)、求证： $∠ D A F = ∠ A D F$ ；

(2)、若 $C D = 2 \sqrt{5}$ ，半圆O的半径为5，求 $B C$ 的长．

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21. 某校是全国青少年毒品预防教育先进单位，为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对全体九年级学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；根据调査结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)、该校九年级共有名学生，“一般”所占圆心角的度数为 $°$ ．

(2)、已知该市共有16000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校九年级学生答题成绩统计情况估计，该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？

(3)、德育处从该校九年级答题成绩前四名（3男1女）学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到“一男一女”参加的概率．

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22. 如图，直线 $A B ： y = x - 3$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线 $A B$ 交于点N，顶点为C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M在线段 $B N$ 上运动，过点M作线段 $E F$ 平行于y轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作 $F G ⊥ C D$ 于点G．
①若设 $E (t ， 0)$ ，试用含t的式子表示 $D E$ 的长度；

②当四边形 $E F G D$ 周长取得最大值时，求 $△ A M E$ 的面积．

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23. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 均为等边三角形，点E，F分别在 $A B ， B C$ 边上，且 $A E = B F$ ，连接 $A F ， C E$ 相交于点G，连接 $D G$ 并延长交 $A B$ 于点H．

(1)、求 $∠ A G E$ 的度数；

(2)、求证： $G D = G A + G C$ ；

(3)、若H为 $B E$ 的中点，求 $\frac{A E}{B E}$ 的值．

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个数	13	14	15	16
人数	3	5	1	1