河南省名校2021年九年级数学内部摸底试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，小于﹣2的数是（）.

A、2 B、1 C、﹣1 D、﹣4

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2. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（）

A、 $1.109 \times 10^{7}$ B、 $1.109 \times 10^{6}$ C、 $0.1109 \times 10^{8}$ D、 $11.09 \times 10^{6}$

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4. 下列计算中，正确的是（）

A、x³•x²＝x⁶ B、x（x﹣3）＝x²﹣3x C、（x+y）（x﹣y）＝x²+y² D、﹣2x³y²÷xy²＝2x⁴

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5. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，两个锐角都是 $45 °$ 的三角尺的一条直角边在 $B C$ 上，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 4$ B、 $k ⩽ 4$ C、 $k < 4$ 且 $k \neq 0$ D、 $k ⩽ 4$ 且 $k \neq 0$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{4}{3} x + 4$ 的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形 $A B C D$ ，且点C在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，则k的值为（）

A、-12 B、-42 C、42 D、-21

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8. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A、（ $\sqrt{5}$ ﹣1，2） B、（ $\sqrt{5}$ ，2） C、（3﹣ $\sqrt{5}$ ，2） D、（ $\sqrt{5}$ ﹣2，2）

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9. 如图①中， $R t Δ A B C ， ∠ C = 90^{°}$ 点D为AB的中点，动点P从A点出发沿 $A C \to C B$ 运动到点B，设点P的运动路程为 $x$ ， $Δ A P D$ 的面积为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图②所示，则AB的长为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $5 cm ， \sin A = \frac{4}{5}$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $lcm / s$ 的速度沿折线 $A B \to B C \to C D$ 运动，到达点 $D$ 停止；点 $Q$ 同时从点 $A$ 出发，以 $1 cm / s$ 的速度沿 $A D$ 运动，到达点 $D$ 停止.设点 $P$ 运动 $x (s)$ 时， $△ A P Q$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，则能够反映 $y$ 与 $x$ 之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. $\sqrt[3]{27} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ ＝.

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12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是.

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13. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点C在等边 $△ B E F$ 的边 $B F$ 上，点E在 $A B$ 的延长线上，G为 $D E$ 的中点，连接 $C G$ .若 $A D = 3$ ， $A B = C F = 2$ ，则 $C G$ 的长为.

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14. 如图，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O ， A ， D$ 为圆周上的点， $A D / / B C ， A B = C D = A D = 1 ， ∠ A B C = 60 °$ ，若点 $P$ 为 $B C$ 垂直平分线 $M N$ 上的一动点，则阴影部分周长的最小值为.

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中. $∠ A B C = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 4$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一动点.连接 $B D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，当点 $A^{'}$ 在 $△ A B C$ 内部（不含边界）时， $A D$ 长度的取值范围是.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 3, b = \sqrt{5} - 3$ .

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17. 为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：

甲校学生样本成绩频数分布表（表1）

成绩 $m$ （分）	频数	频率
$50 ⩽ m < 60$	$a$	0.10
$60 ⩽ m < 70$	$b$	$c$
$70 ⩽ m < 80$	4	0.20
$80 ⩽ m < 90$	7	0.35
$90 ⩽ m ⩽ 100$	2	$d$
合计	20	1.0

b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）

学校	平均分	中位数	众数	方差
甲	76.7	77	89	150.2
乙	78.1	80	$n$	135.3

其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：

54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、表1中

c =

；表2中的众数

n =

；

(2)、在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；

(3)、乙校学生样本成绩扇形统计图中，

70 ⩽ m < 80

这一组成绩所在扇形的圆心角度数是度；

(4)、若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？

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18. 某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 $B C = 414 m$ ， $A B = 300 m$ ，求出点D到AB的距离.（参考数据 $\sin 65^{°} \approx 0.91$ ， $\cos 65^{°} \approx 0.42$ ， $\tan 65^{°} \approx 2.14$ ）

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19. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，以边上 $A C$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 恰好经过边 $B C$ 的中点 $D$ ，并与边 $A C$ 相交于另一点 $F$ .

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、若 $A B = \sqrt{3}$ ， $E$ 是半圆 $\overset{⌢}{A G F}$ 上一动点，连接 $A E$ ， $A D$ ， $D E$ .填空：
①当 $\overset{⌢}{A E}$ 的长度是时，四边形 $A B D E$ 是菱形；

②当 $\overset{⌢}{A E}$ 的长度是时， $Δ A D E$ 是直角三角形.

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20. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容.某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元.

(1)、求毛笔和宣纸的单价；

(2)、某超市给出以下两种优惠方案：
方案 $A$ ：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；

方案 $B$ ：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折.学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张），选择哪种方案更划算？请说明理由.

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 + 2 a^{2} (a \neq 0)$ ．

(1)、求这条抛物线的对称轴；

(2)、若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

(3)、设点 $P (m ， y_{1})$ ， $Q (3 ， y_{2})$ 在抛物线上，若 $y_{1} < y_{2}$ ，求m的取值范围．

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22. 如图，

Q

是

\overset{⌢}{A B}

与直径

A B

所围成的图形的内部的一定点，

P

是直径

A B

上一动点，连接

P Q

并延长交

\overset{⌢}{A B}

于点

C

，连接

A C

.已知

A B = 6 cm

，设

A ， P

两点间的距离为

x cm ， P ， C

两点间的距离为

y_{1} cm ， A ， C

两点间的距离为

y_{2} cm

小腾根据学习函数的经验，分别对函数 $y_{1} ， y_{2}$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)、按照下表中自变量

x

的值进行取点、画图、测量，分别得到了

y_{1} ， y_{2}

与

x

的几组对应值；

$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{1} / cm$	5.62	4.67	3.76		2.65	3.18	4.37
$y_{2} / cm$		5.59	5.53	5.42	5.19	4.73	4.11

(2)、在同一平面直角坐标系

x O y

中，描出补全后的表中各组数值所对应的点

(x ， y_{1})

，并画出函数

y_{1}

的图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：当

△ A P C

为等腰三角形时，

A P

的长度约为

cm

.（保留2位小数）

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23. 在 $R t △ A B C$ 中与 $R t △ D C E$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， ∠ B A C = ∠ D E C = 30 °$ ， $A C = D C = \sqrt{3}$ ，将 $R t △ D C E$ 绕点 $C$ 顺时针旋转，连接 $B D ， A E$ ，点 $F ， G$ 分别是 $B D ， A E$ 的中点，连接 $C F ， C G$ .

(1)、观察猜想
如图1，当点 $D$ 与点 $A$ 重合时， $C F$ 与 $C G$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、类比探究
当点 $D$ 与点 $A$ 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3)、问题解决在 $R t △ D C E$ 旋转过程中，请直接写出 $△ C F G$ 的面积的最大值与最小值.

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