浙江省宁波市2021年数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{3}{7}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $- \frac{3}{7}$ C、 $- \frac{7}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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2. 下列计算正确的（）

A、 $b^{6} \div b^{3} = b^{2}$ B、 $b^{3} \cdot b^{3} = b^{9}$ C、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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3. 今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成3900000贫困人口的搬迁建设任务，数据3900000用科学记数法表示为（）

A、 $0.39 \times 10^{7}$ B、 $3.9 \times 10^{7}$ C、 $3.9 \times 10^{6}$ D、 $39 \times 10^{5}$

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4. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5. 如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上.当∠1＝l5°时，∠2的度数是（）

A、15° B、25° C、35° D、45°

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6. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：

读书时间（小时）

4

5

6

7

8

学生人数

6

10

9

8

7

则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）

A、6，5 B、6，6 C、6.5，6 D、6.5，5

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8. 我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - y = 7 \\ y = 5 x - 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ y = 5 x - 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - 7 x = 7 \\ y - 5 x = 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x - y = 7 \\ y - 5 x = 5 \end{array}$

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，它的对称轴为直线 $x = - 1$ .则下列选项正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $(c - a) (c + 3 a) > 0$ D、 $a - b ⩾ m (a m + b)$ （m为实数）

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10. 如图，一个长方形 $A B C D$ 是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（）

A、 $E F$ B、 $F G$ C、 $G H$ D、 $F H$

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二、填空题

11. 代数式 $\frac{3}{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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12. 分解因式：8a﹣2a³＝.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D ，$ 点 $E ， F$ 分别是 $A B ， A C$ 边的中点，请你在 $△ A B C$ 中添加一个条件：，使得四边形 $A E D F$ 是菱形．

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14. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为.

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15. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， B D$ 是腰 $A C$ 上的高，点O是线段 $B D$ 上一动点，当半径为 $\frac{3}{2}$ 的 $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 的一边相切时， $O B$ 的长为.

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16. 如图，点B，D在x轴正半轴上，点A，C在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上， $A O = A B ， C B = C D$ ，且 $O A / / C B$ ，设 $△ A O B ， △ C B D$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为；当 $k = 4$ 时， $S_{2}$ 的值为.

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三、解答题

17. 按要求作答

(1)、化简： $m (m + 2) - {(m - 1)}^{2}$ .

(2)、解不等式： $\frac{1 + x}{2} - \frac{2 x - 1}{3} ⩽ 1$ .

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18. 图①②分别是 $4 \times 5$ 的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上.

(1)、请在图①中画一个四边形 $A B C D$ ，使得四边形 $A B C D$ 为轴对称图形；

(2)、请在图②中画一个四边形ABEF，使得四边形A BEF为中心对称图形.

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19. 如图，小甬的家在某住宅楼 $A B$ 的最顶层，他家对面有一建筑物 $C D$ ，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A到地面的距离（ $A B$ ）为 $20m$ ，又测得从A处看建筑物底部C的俯角 $α$ 为 $30 °$ ，看建筑物顶部D的仰角 $β$ 为 $53 °$ ，且 $A B ， C D$ 都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内.

(1)、求 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离（结果保留根号）.

(2)、求建筑物 $C D$ 的高度（结果精确到 $1m$ ）.
（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8 ， \cos 53 ° \approx 0.6 ， \tan 53 ° \approx 1.3 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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20. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，且二次函数图象的顶点坐标为 $(- 1 ， 4)$ ，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.

(1)、求A，B两点的坐标.

(2)、根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

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21. 某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组： $A .40 \leq x < 45$ ， $B .45 \leq x < 50$ ， $C .50 \leq x < 55$ ， $D .55 \leq x < 60$ ， $E .60 \leq x < 65$ ， $F .65 \leq x \leq 70$ .并根据数据制作出如下不完整的统计图.请根据统计图解决下列问题，

(1)、补全频数分布直方图，并求出 $m$ 的值；

(2)、若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

(3)、在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？

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22. 如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段 $O A$ 表示货车离开甲地的距离 $y (km)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系；折线 $B C D$ 表示轿车离开甲地的距离 $y (km)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：

(1)、求线段 $C D$ 所在直线的函数表达式.

(2)、货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？

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23. 巩固与提高：如图：

(1)、基础巩固：如图①， $∠ A B C = ∠ A C D = ∠ C E D = α$ ，求证： $△ A B C ∽ △ C E D$ .

(2)、尝试应用：如图②，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点E，F分别为边 $A D ， A B$ 上两点，将菱形 $A B C D$ 沿 $E F$ 翻折，点A恰好落在对角线 $D B$ 上的点P处，若 $P D = 2 P B$ ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值.

(3)、拓展提高：如图③，在矩形 $A B C D$ 中，点P是 $A D$ 边上一点，连接 $P B ， P C$ ，若 $P A = 2 ， P D = 4 ， ∠ B P C = 120 °$ ，求 $A B$ 的长.

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24. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”.如图①， $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，若 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，则称点D是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的“奇点”.

(1)、关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有（填写正确的序号）.
①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点.

(2)、如图②， $△ A B C$ 中， $B C = 11 ， \tan B = \frac{3}{5} ， \tan C = \frac{1}{2}$ ，点D是 $B C$ 边上的“奇点”，求线段 $B D$ 的长.

(3)、如图③， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，D是 $B C$ 上一点，连接 $O D ， A D$ ，若 $O D ⊥ A D$ .
①求证：点D是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的“奇点”；

②若 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，求 $\frac{A D^{2}}{A B \cdot A C}$ 的值.

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读书时间（小时）	4	5	6	7	8
学生人数	6	10	9	8	7