内蒙古鄂尔多斯市2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-05-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $0, - \sqrt[3]{27}, π, | - 3 |$ 这四个数中，最小的数是（）

A、0 B、 $π$ C、 $| - 3 |$ D、 $- \sqrt[3]{27}$

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2. 已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则y^x的值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、8

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3. 下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算错误的是（）

A、（a³b）·（ab²）＝a⁴b³ B、xy²－ $\frac{1}{5}$ xy²＝ $\frac{4}{5}$ xy² C、a⁵÷a²＝a³ D、（－mn³）²＝m²n⁵

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5. 下表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩（单位：个/分钟）

成绩（个/分钟）

140

160

169

170

177

180

人数

1

1

1

2

3

2

则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法正确的是（）

A、中位数是173.5 B、平均数是169.5 C、方差是135 D、众数是170

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6. 如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，一块含30°角的直角三角板如图所示放置， $∠ 2 = 35 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、25° B、35° C、40° D、45°

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7. 尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图（1），直线 $l$ 及外一点 $A$ ，求作 $l$ 的垂线，使它经过点 $A$ ，小红的做法如下：
①在直线 $l$ 上任取一点B，连接 $A B$

②以 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $D$ ；

③分别以 $B ， D$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $C$ ；

④作直线 $A C$ ，直线 $A C$ 即为所求如图（2），小红的做题依据是（）

A、四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直 B、直径所对的圆周角是直角 C、直线外一点到这条直线上垂线段最短 D、同圆或等圆中半径相等

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8. 下列说法正确的有（）
①等边三角形、菱形、正方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形.

②九边形的内角和等于 $1260 °$ ；

③ $\sqrt{13}$ 的整数部分是x，小数部分是y，则 $x y = 3 \sqrt{13} - 9$

④一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.

⑤对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是假命题.

A、①②④ B、②③⑤ C、③④⑤ D、④⑤①

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9. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 6$ ， $A B = 10$ ，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D ，另一直角边与BC交于F ，若 $A E = x$ ， $B F = y$ ，则y关于x的函数关系的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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12. 面对突如其来的疫情，全国广大医务工作者以白衣为战袍，义无反顾的冲在抗疫战争的一线，用生命捍卫人民的安全.据统计，全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示.

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13. 对实数 $a ， b$ 定义新运算 $a * b = {\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} (a ⩾ b) \\ \frac{a + b}{a - b} (a < b) \end{array}$ 例如： $4 * 3 = 4^{2} - 3^{2} = 7 ， 3 * 4 = \frac{3 + 4}{3 - 4} = - 7$ ，化简 $(3 x - 5) * (x + 3) =$ .

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14. 已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在x轴的负半轴，y轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形 $O A B C$ 绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形 $O A' B' C' ， B C$ 与 $O A^{'}$ 相交于点M.若经过点M的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交 $A B$ 于点N，矩形 $O A B C$ 的面积为8， $\tan ∠ A' O B' = \frac{1}{2}$ ，则 $B N$ 的长为.

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16. 如图，放置的△OAB₁ ， △B₁A₁B₂ ， △B₂A₂B₃ ，都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B₁、B₂、B₃都在直线y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x上，则点A₂₀₂₀的坐标为.

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三、解答题

17. 计算

(1)、先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} - \frac{2 a - 3}{a^{2} - 1}) \div \frac{1}{a + 1}$ ，其 $a = 2 \cos 30 ° + {(π - 3)}^{0}$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 3 (x - 2) < 4 ① \\ \frac{x + 3}{2} < \frac{2 x - 5}{3} + 3 ② \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出来.

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18. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式变得更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息回答下列问题：

(1)、本次调查共调查了名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”沟通的学生有多少名？

(4)、某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．

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19. 某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图 1，斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°（示意图 2）.工作时如图 3，动臂BC 会绕点B 转动，当点 A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点（示意图 4）.

(1)、求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数.

(2)、问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米（精确到 0.1米）?
（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足图中折线.

(1)、求注射药物后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)、据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的.如果病人按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间.

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21. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ．

(1)、求证：① $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；
② $C D^{2} = C E \cdot C A$ ；

(2)、若点 $F$ 是劣弧 $A D$ 的中点，且 $C E = 3$ ，试求阴影部分的面积．

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22. 某校为改善办学条件，计划购进

A 、 B

两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种方式，具有情况如下表：

规格	线下		线上
规格	单价（元/个）	运费（元/个）	单价（元/个）	运费（元/个）
A	240	0	210	20
B	300	0	250	30

(1)、如果在线下购买

A 、 B

两种书架20个，共花费5520元，求

A 、 B

两种书架各购买了多少个；

(2)、如果在线上购买

A 、 B

两种书架20个，共花费

w

元，设其中

A

种书架购买

m

个，求W关于

m

的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，若购买

B

种书架的数量不少于

A

种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照该购买方案线上比线下节约多少钱.

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23. 如图，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）.连接AC，BC，DB，DC.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；

(3)、在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.

(1)、观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

(2)、探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.

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成绩（个/分钟）	140	160	169	170	177	180
人数	1	1	1	2	3	2