江西省宜春市2019-2020学年高一下学期数学期末质量监测试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在下列向量组中，可以把向量 $\vec{a}$ ＝(3，2)表示出来的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ ＝(0，0)， $\vec{e_{2}}$ ＝(1，2) B、 $\vec{e_{1}}$ ＝(－1，2)， $\vec{e_{2}}$ ＝(5，－2) C、 $\vec{e_{1}}$ ＝(3，5)， $\vec{e_{2}}$ ＝(6，10) D、 $\vec{e_{1}}$ ＝(2，－3)， $\vec{e_{2}}$ ＝(－2，3)

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2. 12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（）

A、抽得3件正品 B、抽得至少有1件正品 C、抽得至少有1件次品 D、抽得3件正品或2件次品1件正品

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3. 某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（）

A、1至2月份的收入的变化率与10至11月份的收入的变化率相同 B、支出最高值与支出最低值的比是6∶1 C、第三季度平均收入为60万元 D、利润最高的月份是2月份

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4. 已知 $α$ 是第三象限角，且 $| \cos \frac{α}{2} | = - \cos \frac{α}{2}$ ，则 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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5. 如图的程序框图(未完成).设当箭头a指向①时，输出的结果s=m，当箭头a指向②时，输出的结果s=n，则m+n=（）

A、30 B、20 C、15 D、5

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2} ， x \in R)$ 在一个周期内的图象如图所示.则 $y = f (x)$ 的图象，可由函数 $y = \cos x$ 的图象怎样变换而来（纵坐标不变）（）

A、先把各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、先把各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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8. 边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω \neq 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 和 $(\frac{7 π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图像的相邻的两个对称中心，且函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 内单调递减，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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10. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）

A、甲地：总体均值为3，中位数为4 B、乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C、丙地：中位数为2，众数为3 D、丁地：总体均值为2，总体方差为3

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11. 已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30~7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45~7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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12. 已知 $O$ 为正三角形 $A B C$ 内一点，且满足 $\vec{O A} + λ \vec{O B} + (1 + λ) \vec{O C} = \vec{0}$ ，若 $△ O A B$ 的面积与 $△ O A C$ 的面积之比为3，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 函数y＝lg(2sinx－1)＋ $\sqrt{1 - 2 \cos x}$ 的定义域为.

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14. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为.

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15. 若 $\vec{a} = (2, - x)$ 与 $\vec{b} = (x, - 8)$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围是.

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16. 已知 $f (x) = \sin (ω x + φ + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 同时满足下列三个条件：① $T = π$ ；② $y = f (x - \frac{π}{3})$ 是奇函数；③ $f (0) < f (\frac{π}{6})$ .若 $f (x)$ 在 $[0 ， t)$ 上没有最小值，则实数 $t$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在同一平面内，且 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $| \vec{c} | = 3 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos ω x ， 2 \cos ω x)$ ， $\vec{n} = (2 \sin ω x ， - \cos ω x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + 1$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中常数 $ω \in (\frac{1}{2} ， 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{5}]$ 上的值域.

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19. 据统计某品牌服装专卖店一周内每天获取得纯利润 $y$ （百元）与每天销售这种服装件数 $x$ （百件）之间有如下一组数据.

$x$

3

4

5

6

7

8

9

$y$

66

69

73

81

89

90

91

该专卖店计划在国庆节举行大型促销活动以提高该品牌服装的知名度，为了检验服装的质量，现从厂家购进的500件服装中抽取60件进行检验，（服装进货编号为001-500）.

附表：（随机数表第7行至第9行）

84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676

63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879

33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 280$ ， $\sum_{i = 1}^{7} y_{i}^{2} = 45309$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 3487$ .

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、利用随机数表抽样本时，如果从随机数表第8行第2列的数开始按三位数连贯向右读取，试写出最先检测的5件服装的编号；

(2)、求该专卖店每天的纯利 $y$ 与每天销售件数 $x$ 之间的回归直线方程.（精确到0.01）

(3)、估计每天销售1200件这种服装时获多少纯利润？

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20. 已知 $\cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\tan β = \frac{1}{7}$ ，且 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\cos^{2} β - \sin^{2} β + \sin β \cos β$ 的值；

(2)、求 $2 α + β$ 的值.

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21. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 $c m$ 和195 $c m$ 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 $[155 ， 160)$ ，第二组 $[160 ， 165)$ ，…，第八组 $[190 ， 195]$ ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.

(1)、求第七组的频率；

(2)、估计该校的800名男生的身高的众数以及身高在180 $c m$ 以上（含180 $c m$ ）的人数；

(3)、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 $x ， y$ ，事件 $E = {| x - y | \leq 5}$ ，求 $P (E)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} ， x \in R$ .

(1)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图象对应的函数为 $h (x)$ .若关于 $x$ 的方程 $2 {[h (x)]}^{2} + m h (x) + 1 = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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$x$	3	4	5	6	7	8	9
$y$	66	69	73	81	89	90	91