挑战高考压轴题-专题7：力学和能量的综合应用

试卷更新日期：2021-05-07 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 如图所示，质量为m₀=1kg的摆球A用长为l=1.8m的轻质细绳系于O点，O点下方的光滑水平地面上静止着一质量为m=5kg的小球B．小球B右侧有一质量为M=15kg的静止滑块C（未固定），滑块的左侧是一光滑的 $\frac{1}{4}$ 圆弧。现将摆球向左拉起，使细线水平，由静止释放摆球，摆球摆动至最低点时恰好与小球B发生弹性正碰，碰撞时间极短，摆球A和小球B均可视为质点，不计空气阻力，滑块C的 $\frac{1}{4}$ 圆弧半径足够大，重力加速度g取10m/s²_。求：

(1)、摆球A与小球B碰后摆球A能摆起的最大高度h；

(2)、小球B与滑块C作用过程中小球B沿 $\frac{1}{4}$ 圆弧面上升的最大高度H。

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2. 如图所示，边长为 $L$ 的单匝正方形金属线框质量为 $m$ 、电阻为 $R$ ，用细线把它悬挂于有水平边界的、方向垂直纸面向内的匀强磁场中，线框的上一半处于磁场内，下一半处于磁场外，磁场的磁感应强度大小随时间的变化规律为 $B = k t$ （ $k > 0$ ），重力加速度为 $g$ ，细线能够承受的最大拉力为 $2 m g$ 。

(1)、说出感应电流的方向；

(2)、求线框静止时线框中感应电流的大小；

(3)、求从计时开始到细线断裂经历的时间。

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3. 如图甲所示，两根间距L=1.0 m、电阻不计的足够长平行金属导轨ab、cd水平放置，一端与阻值R=2.0 Ω的电阻相连。质量m=0.2 kg的导体棒ef在恒定外力F作用下由静止开始运动，已知导体棒与两根导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为f=1.0 N，导体棒电阻为r=1.0 Ω，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场B中，导体棒运动过程中加速度a与速度v的关系如图乙所示（取g=10 m/s²）。求：

(1)、当导体棒速度为v时，棒所受安培力F_安的大小（用题中字母表示）。

(2)、恒力 $F$ 和磁感应强度B分别为多大；

(3)、若ef棒由静止开始运动距离为S=6.9 m时，速度已达v′=3 m/s。求此过程中电阻 $R$ 上产生的焦耳热 $Q_{R}$ ；

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4. 如图所示，在匀强磁场中有倾斜的平行金属导轨，导轨间距为 $L = 0.2 m$ ，长为2d， $d = 0.5 m$ ，上半段d导轨光滑，下半段d导轨的动摩擦因数为 $μ = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，导轨平面与水平面的夹角为 $θ = 30 ° 。$ 匀强磁场的磁感应强度大小为 $B = 5 T$ ，方向与导轨平面垂直。质量为 $m = 0.2 kg$ 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在粗糙的下半段一直做匀速运动，导体棒始终与导轨垂直，接在两导轨间的电阻为 $R = 2 Ω$ ，导体棒的电阻为 $r = 1 Ω$ ，其他部分的电阻均不计，重力加速度取 $g = 10 m / s^{2}$ ，求：

(1)、导体棒到达轨道底端时的速度大小；

(2)、导体棒进入粗糙轨道前，通过电阻R上的电量q；

(3)、整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q。

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5. 做功与路径无关的力场叫做势场，在这类场中可以引入“势”和“势能”的概念，场力做功可以量度势能的变化。例如静电场和引力场。

(1)、如图所示，真空中静止点电荷+Q产生的电场中，A、B为同一条电场线上的两点，A、B两点与点电荷+Q间的距离分别为r₁和r₂。取无穷远处的电势为零，则在距离点电荷+Q为r的某点电势 $φ = \frac{k Q}{r}$ （式中k为静电力常量）。

a．现将电荷量为+q的检验电荷放置在A点，求该检验电荷在A点时的电势能E_pA；

b．现将电荷量为+q的检验电荷，由A点移至B点，求在此过程中，电场力所做的功W。

(2)、质量为M的天体周围存在引力场。已知该天体的半径为R，引力常量为G。
a．请类比点电荷，取无穷远处的引力势为零，写出在距离该天体中心为r（ $r > R$ ）处的引力势 $φ_{g}$ 的表达式；
b．天体表面上的物体摆脱该天体万有引力的束缚，飞向宇宙空间所需的最小速度，称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度。求该天体的第二宇宙速度v。

(3)、2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世。黑洞的质量非常大，半径又非常小，以致于任何物质和辐射进入其中都不能逃逸，甚至光也不能逃逸。已知黑洞的质量为M₀ ，引力常量为G，真空中的光速为c，求黑洞可能的最大半径r_m。

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6. 如甲图所示，U形光滑金属导轨水平放置，导轨间距为L，左端电阻的阻值为R。质量为m的金属棒垂直于导轨放在导轨上，且与导轨良好接触，导轨及金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，现对金属棒施加一水平向右的拉力，使棒由静止开始向右运动，保持拉力的功率恒为P，经时间t，棒的速度为v。

(1)、此时棒的加速度多大？

(2)、时间t内电路产生了多少内能？

(3)、某同学进一步研究了电路产生的内能Q随时间t变化的关系，画出了Q—t大致图像，如乙图所示，请判断这个图像是否合理，并说明理由。

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7. 2020年11月24日4时30分，中国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道。标志着我国月球探测新旅程的开始，飞行136个小时后总质量为m的嫦娥五号以速度v高速到达月球附近P点时，发动机点火使探测器顺利变轨，被月球捕获进入半径为r的环月轨道，已知月球的质量为M，引力常量为G。求

(1)、嫦娥五号探测器发动机在P点应沿什么方向将气体喷出？

(2)、嫦娥五号探测器发动机在P点应将质量为Δm的气体以多大的对月速度喷出？

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8. 如图所示，一辆质量为10t的卡车在平直的水平公路AB上正以最大速度向右行驶。水平公路的前方是长60m的坡道BD，坡顶D离水平路面的高h=6m。无论在水平公路还是在坡道上卡车行驶过程中所受的阻力（由路面和空气提供）恒为其重力的0.2倍，卡车发动机能提供的牵引力的额定功率为200kW，g取10m/s²。

(1)、卡车向右行驶的最大速度是多少？

(2)、卡车行驶到B处时，若关闭发动机，卡车能否行驶到坡顶D，请说明理由；倘若卡车到不了坡顶，则发动机至少还需要做多少功才能使卡车到达坡顶？

(3)、卡车行驶到B处时，若保持发动机牵引力的功率不变，坡道BD足够长，则卡车将作怎样的运动？

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9. 如图，平行金属导轨由水平部分和倾斜部分组成，倾斜部分是两个竖直放置的四分之一圆弧导轨，圆弧半径r=0.2m。水平部分是两段均足够长但不等宽的光滑导轨，CC＇=3AA＇=0.6m，水平导轨与圆弧导轨在AA＇平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，导体棒MN、PQ的质量分别为m_l=0.2kg、m₂=0.6kg，长度分别为l₁=0.2m、l₂=0.6m，电阻分别为R₁=1.0Ω、R₂=3.0Ω，PQ固定在宽水平导轨上。现给导体棒MN一个初速度，使其恰好沿圆弧导轨从最高点匀速下滑，到达圆弧最低处AA＇位置时，MN克服安培力做功的瞬时功率为0.04W，重力加速度g=10m/s² ，不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨一直接触良好。求：

(1)、导体棒MN到达圆弧导轨最低处AA＇位置时对轨道的压力大小；

(2)、导体棒MN沿圆弧导轨下滑过程中，MN克服摩擦力做的功(保留3位有效数字)；

(3)、若导体棒MN到达AA＇位置时释放PQ，之后的运动过程中通过回路某截面的电量q。

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10. 如图所示，飞机先在水平跑道上从静止开始加速滑行，行驶距离x=600m后达到v₁=216km/h的速度起飞，飞机滑行过程可视为匀加速直线运动，所受阻力大小恒为自身重力的0.1倍。起飞后，飞机以离地时的功率爬升t=20min，上升了h=8000m，速度增加到v₂=720km/h。已知飞机的质量m=1×10⁵kg，取重力加速度大小g=10m/s²。求：

(1)、飞机在地面滑行时所受牵引力的大小F；

(2)、飞机在爬升过程中克服空气阻力做的功W_f。

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11. 如图甲所示的过山车玩具深受小朋友喜爱。电动小车以恒定的牵引力功率P=5.0W，从A点由静止出发，经过0.4s通过一段长L=1.0m的水平直轨道AB，然后进入与B点相切的半径r=0.2m的竖直圆形轨道。轨道上B点和C点之间的圆弧所对应的圆心角 $θ$ =30°，轨道具有子母双层结构，车底有抱轨固件，可确保小车不会脱轨。如果将运动轨道抽象成图乙的模型，小车可视为质点，质量m=0.1kg。设小车与轨道（包括圆轨道）间的摩擦阻力大小f恒为1.8N。

(1)、求小车到达B点的速度；

(2)、若小车在C点时速度v_C=2.1m/s，求小车此刻沿轨道切线方向的加速度a；

(3)、小车从B运动到最高点D，耗时t_BD=0.28s，求小车在最高点处对轨道的弹力大小和方向。

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12. 2012年11月，我国舰载机在航母上首降成功。假设着舰过程中航母静止不动，某一舰载机质量 $m = 2.5 \times 10^{4} kg$ ，着舰速度 $v_{0} = 50 m/s$ ，着舰过程舰载机发动机的推力大小恒为 $F = 1.2 \times 10^{5} N$ ，若空气阻力和甲板阻力保持不变。

(1)、若飞机着舰后，关闭发动机，仅受空气阻力和甲板阻力作用，飞机将在甲板上以 $a_{0} = 2 {m/s}^{2}$ 的加速度做匀减速运动，航母甲板至少多长才能保证飞机不滑到海里；

(2)、为了让飞机在有限长度的跑道上停下来，甲板上设置了阻拦索让飞机减速，同时考虑到飞机尾钩挂索失败需要复飞的情况，飞机着舰时并不关闭发动机。若飞机着舰后就钩住阻拦索，如图所示为飞机钩住阻拦索后某时刻的情景，此时飞机的加速度大小 $a = 38 {m/s}^{2}$ ，速度 $v = 40 m/s$ ，阻拦索夹角 $θ = 106 °$ ，两滑轮间距 $S = 40 m$ ， $\sin 53 ° = 0.8$ ， $\cos 53 ° = 0.6$ 。求此时阻拦索承受张力 $T$ 的大小和飞机从着舰到图示时刻阻拦索对飞机所做的功 $W$ 。

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13. 某遥控赛车轨道如图所示，赛车从起点A出发，沿摆放在水平地面上的直轨道AB运动L=10m后，从B点进入半径R=0.1m的光滑竖直圆轨道，经过一个完整的圆周后进入粗糙的、长度可调的、倾角q=30°的斜直轨道CD，最后在D点速度方向变为水平后飞出（不考虑经过轨道中C、D两点的机械能损失）。已知赛车质量m=0.1kg，通电后赛车以额定功率P=1.5W工作，赛车与AB轨道、CD轨道间的动摩擦因数分别为μ₁=0.3和μ₂= $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，重力加速度g取10m/s²：

(1)、求赛车恰好能过圆轨道最高点P时的速度v_P的大小；

(2)、若要求赛车能沿圆轨道做完整的圆周运动，求赛车通电的最短时间；

(3)、已知赛车在水平直轨道AB上运动时一直处于通电状态且最后阶段以恒定速率运动，进入圆轨道后关闭电源，选择CD轨道合适的长度，可使赛车从D点飞出后落地的水平位移最大，求此最大水平位移，并求出此时CD轨道的长度。

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14. 某中学生对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究．他让这辆小车在水平的地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录下来，通过数据处理得到如图所示的 $υ$ ~t图象．已知小车在0~2s内做匀加速直线运动，2s ~11s内小车牵引力的功率保持不变，9s ~11s内小车做匀速直线运动，在11s末开始小车失去动力而自由滑行．已知小车质量 $m = 1 kg$ ，整个过程中小车受到的阻力大小不变，试求：

(1)、在2s~11s内小车牵引力的功率P是多大？

(2)、小车在 $2 s$ 末的速度 $v_{x}$ 为多大？

(3)、小车在2s~9s内通过的距离 $x$ 是多少？

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15. 某电动机工作时输出功率P与拉动物体的速度v之间的关系如图（a）所示。现用该电动机在水平地面拉动一物体（可视为质点），运动过程中轻绳始终处在拉直状态，且不可伸长，如图（b）所示。已知物体质量m=1kg，与地面的动摩擦因数 $μ_{1} = 0.35$ ，离出发点C左侧s距离处另有动摩擦因数为 $μ_{2} = 0.45$ 、长为d=0.5m的粗糙材料铺设的地面AB段。（g取10m/s²）

(1)、若s足够长，电动机功率为2W时，物体在地面能达到的最大速度是多少？

(2)、若启动电动机，物体在C点从静止开始运动，到达B点时速度恰好达到0.5m/s，则BC间的距离s是多少？物体能通过AB段吗？如果不能停在何处？

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16. 光滑水平面上，一个长木板与半径R未知的半圆组成如图所示的装置，装置质量M＝5 kg.在装置的右端放一质量为m＝1 kg的小滑块(可视为质点)，小滑块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.5，装置与小滑块一起以v₀＝10 m/s的速度向左运动．现给装置加一个F＝55 N向右的水平推力，小滑块与长木板发生相对滑动，当小滑块滑至长木板左端A时，装置速度恰好减速为0，此时撤去外力F并将装置锁定．小滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点B.滑块脱离半圆形轨道后又落回长木板．已知小滑块在通过半圆形轨道时克服摩擦力做功W_f＝2.5 J．g取10 m/s².求：

(1)、装置运动的时间和位移；

(2)、长木板的长度l；

(3)、小滑块最后落回长木板上的落点离A的距离．

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17. 如图所示，质量为 $m_{B} = 3 kg$ 的薄木板B放在水平面上，质量为 $m_{A} = 2 kg$ 的物体A（可视为质点）在一电动机拉动下从木板左端以 $v_{0} = 6m/s$ 的速度向右匀速运动。在物体A带动下，木板从静止开始做匀加速直线运动，此时电动机输出机械功率P=96W。已知木板与地面间的动摩擦因数 $μ = 0 .2$ ，重力加速度g取10m/s²。求：

(1)、木板B运动的加速度大小；

(2)、木板B的长度满足什么条件，物体A最终能滑离木板B。

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18. 如图为遥控玩具小车比赛轨道的示意图，第一部分由斜面轨道AB、圆弧轨道BCD与斜面轨道DE拼接而成，圆弧BCD的圆心恰在O点，第二部分由水平轨道EF、圆形轨道FGF与特殊材料水平轨道FH组成。直线轨道与圆弧轨道平滑相切。圆轨道F处前后略有错开，小车可从一侧滑上再从另一侧滑出，已知轨道AB与DE的倾角均为θ＝37°，长度均为L＝2m，轨道FGF的半径r＝1m，玩具车在AB与DE轨道上受到的阻力为压力的0.25，在FH轨道上受到的阻力为压力的1.5倍。其余轨道摩擦阻力及空气阻力均不计。已知玩具车输出功率恒为P＝10W，电动机工作时间可调控，玩具车质量m＝1kg，可视为质点。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．求：

(1)、玩具车以多大初速度从A点弹出，恰好能沿轨道自行上滑到C点；

(2)、玩具车以恒定功率P＝10W从A点由静止启动，电动机至少工作多长时间才能完成完整的圆周运动；

(3)、已知轨道“受力因子k”是车对轨道的压力与车重力的比值，要求满足在圆周内k≤9且玩具车能无动力完成完整比赛，求玩具车的停止点H与F点的可能距离。

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19. 如图，一质量m=0.4kg的滑块（可视为质点）静止于动摩擦因数µ=0.1的水平轨道上的A点。对滑块施加一水平外力，使其向右运动，外力的功率恒为P=10.0W。经过一段时间后撒去外力，滑块继续滑行至B点后水平飞出，恰好在C点沿切线方向进入固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道，轨道的最低点D处装有压力传感器，当滑块到达传感器上方时，传感器的示数为25.6N。已知轨道AB的长度L=2.0m，半径OC和竖直方向的夹角α=37°，圆形轨道的半径R=0.5m。（空气阻力可忽略，g=10 m/s² ， sin37^°=0.6，cos 37^°=0.8）求：

(1)、滑块运动到C点时速度v_c的大小；

(2)、B、C两点的高度差h及水平距离x?

(3)、水平外力作用在滑块上的时间t?

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20. 如图甲所示，在光滑水平面上，固定一个四分之一竖直圆弧轨道AB，半径R=1m，圆弧最低点B静止放置一个可视为质点的小物块m， m的质量为1kg。紧挨B右侧有一个上表面与B齐平的足够长木板M，M质量为2kg，m与M之间的动摩擦因数μ=0.2，一个可视为质点的质量为0.5kg的小物块m₀。从A点正上方距A点一定高度处由静止释放，沿圆弧轨道到达B点时与小物块m发生完全弹性正碰，碰后瞬间m₀对B点的压力大小为9.5N，此刻对长木板施加一水平向右的拉力F，F随t变化的关系如图乙所示，求：

(1)、碰撞后瞬间m的速度大小；

(2)、3.5秒内小物块m在长木板M上滑行的相对路程；

(3)、从计时开始到最终m、M相对静止时系统产生的内能。

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