江西省新余市2019-2020学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a < 0$ ， $- 1 < b < 0$ ，则有（）

A、 $a b^{2} < a b < a$ B、 $a < a b < a b^{2}$ C、 $a b > b > a b^{2}$ D、 $a b > a b^{2} > a$

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2. 下列四式不能化简为 $\vec{A D}$ 的是（）

A、 $\vec{M B} + \vec{A D} - \vec{B M}$ B、 $(\vec{A D} + \vec{M B}) + (\vec{B C} + \vec{C M})$ C、 $(\vec{A B} + \vec{C D}) + \vec{B C}$ D、 $\vec{O C} - \vec{O A} + \vec{C D}$

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3. $\sin 20^{o} \cos 10^{o} - \cos 160^{o} \sin 10^{o}$ =（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₂＝3，a₆＝11，则S₇＝（）

A、91 B、 $\frac{91}{2}$ C、98 D、49

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6. 已知在 $△ A B C$ 中，点M在边BC上，且 $\vec{B C} = - 2 \vec{C M}$ ，点E在边AC上，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ，则向量 $\vec{E M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{3}{2} \vec{A B}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 设x、y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 7 \leq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ 3 x - y - 5 \geq 0 \end{array}$ ，则z＝2x－y的最大值为（）

A、10 B、8 C、3 D、2

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9. 已知函数 $f (x) = x \sin x$ ， $x \in R$ ，则 $f (- \frac{π}{4})$ ， $f (1)$ 及 $f (\frac{π}{3})$ 的大小关系是（）

A、 $f (- \frac{π}{4}) > f (1) > f (\frac{π}{3})$ B、 $f (1) > f (\frac{π}{3}) > f (- \frac{π}{4})$ C、 $f (\frac{π}{3}) > f (1) > f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (\frac{π}{3}) > f (- \frac{π}{4}) > f (1)$

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10. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} - 2 α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin \frac{π x}{m}$ ，函数 $f (x)$ 的对称轴为 $x = x_{0}$ ，若存在 $x_{0}$ 满足 $x_{0}^{2} + {[f (x_{0})]}^{2} < m^{2}$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 6) \cup (6 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 在 $[1 ， 2]$ 上有且仅有3个零点，其图象关于点 $(\frac{1}{4} ， 0)$ 和直线 $x = - \frac{1}{4}$ 对称，给出下列结论：① $f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；②函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上有且仅有3个最值点；③函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{5}{4})$ 上单调递增；④函数 $f (x)$ 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. $2020^{\circ}$ 是第象限角.

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14. 已知两个非零向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线，若 $\vec{A B} = λ \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 6 \vec{e_{1}} + 23 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} - 8 \vec{e_{2}}$ 且A、B、D三点共线，则 $λ$ 等于.

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15. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{6}$ 等于.

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16. 当 $θ$ 取遍所有值时，直线 $x \cos θ + y \sin θ = 4 + \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})$ 所围成图形的面积为.

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3, 4)$ .

(1)、求 $\frac{\tan α}{\sin (π - α) - \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值；

(2)、若 $β$ 为第三象限角，且 $\tan β = \frac{3}{4}$ ，求 $\cos (2 α - β)$ 的值.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，D为线段BC中点，E为线段AD中点.

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值；

(2)、求 $\vec{E B}$ ， $\vec{E C}$ 夹角的余弦值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，公差 $d > 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 6$ ，且满足 $a_{3} - a_{1}$ ， $2 a_{2}$ ， $a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 的值.

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20. 已知O为坐标原点， $\vec{O A} = (\cos x ， 1)$ ， $\vec{O B} = (2 \cos x ， \sqrt{3} \sin 2 x)$ ， $x \in R$ ，若 $f (x) = \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设 $g (x) = f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{8})$ ，求函数 $y = g (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = b - 2 a \sin^{2} (ω x + φ) (a > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足如下条件：①函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 3$ ，最大值为9；② $f (\frac{1}{2}) = 3$ 且 $f (1) > 0$ ；③若函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上是单调函数，则 $n - m$ 的最大值为2.试探究并解决如下问题：

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的零点，求 $\tan \frac{(x_{1} + x_{2}) π}{4}$ 的取值集合.

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22. 将函数 $f (x) = - \cos 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作 $g (x)$ .

(1)、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 且 $A < B < C$ ，若C角满足 $g (C) = - 1$ ，求 $\cos A + \cos B$ 的取值范围；

(2)、已知常数 $λ \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，且函数 $F (x) = g (x) + λ \sin x$ 在 $(0, n π)$ 内恰有2021个零点，求常数 $λ$ 与 $n$ 的值.

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