江西省上饶市2019-2020学年高一下学期理数期末教学质量测试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \cos (x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为（）

A、π B、2π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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2. 已知集合 $M = {x | 0 \leq x < 2}$ ， $N = {x | x^{2} - 2 x - 1 < 0}$ ，则集合 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | 0 \leq x < 1 + \sqrt{2}}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2}$ D、 ${x | 1 - \sqrt{2} < x < 2}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} - a_{n - 1} = 3$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{+}$ ），且 $a_{2} = 1$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、25 B、26 C、27 D、28

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4. 以 $A (3, - 1)$ ， $B (- 2, 2)$ 为直径的圆的方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} - x - y - 8 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - x - y - 9 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + x + y - 8 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + x + y - 9 = 0$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $\frac{13}{9}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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6. 将函数 $y = \sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $g (x) = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{8})$ D、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{8})$

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7. 已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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8. 设 $x, y \in R$ ，且 $x + y = 3$ ，则 $2^{x} + 2^{y}$ 的最小值为（）

A、0 B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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9. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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10. 若当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = \sin x + 2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知 $A$ 是函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin (2020 x + \frac{π}{6}) + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \sin (2020 x - \frac{π}{3})$ 的最大值，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 使得对任意实数 $x$ ，总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A \cdot | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{2020}$ B、 $\frac{π}{1010}$ C、 $\frac{3 π}{2020}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2020}$

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二、多选题

12. 若 $a > b$ ， $c > d$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a - b > c - d$ B、 $a + c > b + d$ C、 $a - c > b - c$ D、 $a - c > a - d$

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三、填空题

13. 已知 $\sin α - \cos α = \frac{4}{5}$ ，那么 $\sin 2 α =$ ．

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14. 若点 $M (m, m - 1)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ 内，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， π]$ 的零点个数为．

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16. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} + S_{n} S_{n + 1} = 0$ ，则 $S_{2020} =$ ．

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四、解答题

17.

(1)、化简： $\frac{\cos (3 π + α) \cos (\frac{3 π}{2} - α)}{\sin (- π + α) \cos (- α - π)}$ ；

(2)、已知 $\tan α = - 2$ ， $\tan β = \frac{1}{3}$ ，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $α + β$ 的值．

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18. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{3} = 11$ ， $S_{9} = 63$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值．

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19. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调增区间，并指出 $f (x)$ 的最大值取到最大值时 $x$ 的集合．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} ω x + 2 \sin ω x \cos ω x - \sqrt{3}$ 图象的任意两条对称轴间距离的最小值为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上的值域．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (0, 0)$ ， $B (3, 3)$ ， $C (1, - \sqrt{5})$ ，记 $△ A B C$ 外接圆为圆 $M$ ．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、在圆 $M$ 上是否存在点 $P$ ，使得 ${| P B |}^{2} - {| P A |}^{2} = 12$ ？若存在，求点 $P$ 的个数；若不存在，说明理由．

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 x + 1 + b$ ，不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 3}$ ，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、若存在 $x_{0} \in [1, 3]$ ，使不等式 $f (x_{0}) \geq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + k \cdot \frac{2}{| 2^{x} - 1 |} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围．

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