江西省赣州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $A = 30 °$ ， $B = 45 °$ ， $a = 2$ ，则b等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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4. 直线 $x + (m + 1) y - 1 = 0$ 与直线 $m x + 2 y - 1 = 0$ 平行，则m的值为（）

A、1或-2 B、1 C、-2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $b \cos A - c > 0$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等边三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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6. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$

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7. 已知实数x ， y满足约束条 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则目标函数 $z = \frac{y}{x - 3}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为120°，则向量 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与向量 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、60° B、120° C、30° D、150°

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9. 已知直线 $(k + 1) x + (k - 1) y - 5 k - 3 = 0$ 恒过定点 $P (m, n)$ ，若正实数a ， b满足 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = 1$ ，则a+b的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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10. 若圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上恰有两个点到直线 $x - \sqrt{3} y + b = 0$ 的距离为1，则实数b的取值范围（）

A、 $(- 7, - 3)$ B、 $(1, 5)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(- 7, - 3) \cup (1, 5)$

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11. 已知锐角 $△ A B C$ ，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $\sin^{2} B - \sin^{2} A = \sin A \cdot \sin C$ ， $c = 3$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(\frac{3}{2}, 3)$

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12. 已知点P在 $△ A B C$ 内部，且 $△ P A B$ 与 $△ P A C$ 的面积之比为3：1，若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\vec{P A} = (a_{n + 1} - 1) \vec{B P} - \frac{3}{2} a_{n} \vec{B C}$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、15 B、31 C、63 D、127

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ ，若 $l ⊥ l_{1}$ ，则直线l的倾斜角为.

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 10, a_{2} + a_{6} = 6$ ，则 $d =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 中，设三个内角 $A, B, C$ 对应的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ,则 $c =$ .

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16. 已知 $⊙ O$ 为单位圆，A、B在圆上，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为60°，点C在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $x + y$ 的取值范围.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 4), \vec{b} = (λ, 2)$ .

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $- \sqrt{2}$ ，求 $λ$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足： $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{n}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\frac{\sin A - \sin C}{\sin B} = \frac{b - c}{a + c}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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20. 已知 $f (x) = a x^{2} + (a - 1) x - 1$

(1)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, - \frac{1}{2})$ ，求关于x的不等式 $\frac{a x + 3}{x - 1} \leq 0$ 的解集；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ .

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21. 已知圆C经过点 $A (3, - 2)$ 和 $B (1, 0)$ ，且圆心在直线 $x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、直线l经过 $(2, 0)$ ，并且被圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ， $a_{1} = 1, a_{2} = 3, b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ， $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2 (n ⩾ 2, n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求其通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求 $T_{n}$ ；

(3)、若 $λ (3 - T_{n}) \cdot 2^{n} \leq a_{n}^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值.

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