福建省漳州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 用符号表示“点 $A$ 在平面 $α$ 外，直线 $l$ 在平面 $α$ 内”，正确的是（）

A、 $A ⊄ α$ ， $l \in α$ B、 $A ⊄ α$ ， $l \subset α$ C、 $A \notin α$ ， $l \subset α$ D、 $A \notin α$ ， $l \in α$

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2. 若 $a > b > 0$ ， $c \in R$ ，则（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $a - c < b - c$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} < b^{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (t, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、-4 B、-1 C、1 D、4

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{2} b c$ ，则 $A =$ （）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比为2，若 $S_{4} = 15$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\sin A = \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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7. 已知圆锥 $S O$ 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为 $4 ： 9$ ，母线与底面的夹角是 $60 °$ ，圆台轴截面的面积为 $20 \sqrt{3}$ ，则圆锥 $S O$ 的体积为（）

A、 $48 \sqrt{3} π$ B、 $72 \sqrt{3} π$ C、 $144 \sqrt{3} π$ D、 $216 \sqrt{3} π$

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8. 已知 ${a_{n}}$ 是公比为整数的等比数列，设 $b_{n} = \frac{a_{2 n - 1} + a_{2 n}}{a_{n}}$ ， $n \in N_{+}$ ，且 $b_{11} = 3072$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \geq 2020$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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二、多选题

9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ， $a_{4} = 7$ ，则（）

A、 $S_{n} = n^{2}$ B、 $S_{n} = 2 n^{2} - 3 n$ C、 $a_{n} = 2 n - 1$ D、 $a_{n} = 3 n - 5$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ ，则 $B =$ （）

A、30° B、45° C、135° D、150°

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\sqrt{a b} \geq 1$ B、 $\frac{1}{a b} \geq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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12. 设 $a$ ， $b$ 为两条直线， $α$ ， $β$ 为两个平面，下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ α$ B、若 $a ⊥ b$ ， $b / / α$ ，则 $a / / α$ C、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$

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三、填空题

13. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}$ ， $n \in N_{+}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{5} =$ .

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15. $△ A B C$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A = \frac{π}{2}$ ， $A B = 4$ ，若点 $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A B} =$ .

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16. 正四面体 $P - B D E$ 和边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 有公共顶点 $B$ ， $D$ ，则该正四面体 $P - B D E$ 的外接球的体积为，线段 $A P$ 长度的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ .

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知球 $O$ 的半径为5.

(1)、求球 $O$ 的表面积；

(2)、若球 $O$ 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n$ ， $n \in N_{+}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是菱形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证：平面 $A B F / /$ 平面 $C D E$ ；

(3)、若 $D E = D B = 2$ ， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ，求点 $D$ 到平面 $B C E$ 的距离.

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22. 在① $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 5$ ，② $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题：
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对各边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\sin B}{\sin A + \sin C} + \frac{\sin C}{\sin A + \sin B} = 1$ ，______，且 $b = 1$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为0的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} \cos A = 1$ ，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = a_{7}$ .若数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $c_{1} = \frac{1}{3}$ ， $c_{n} = \frac{a_{n - 1}}{b_{n}} - \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $n \geq 2$ .证明： $S_{n} < \frac{11}{6}$ .

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