福建省厦门市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 化简 $\sin 15 ° \cos 5 ° - \cos 15 ° \sin 5 °$ 结果为（）

A、 $\sin 10 °$ B、 $\cos 10 °$ C、 $\sin 20 °$ D、 $\cos 20 °$

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2. 集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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3. 如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列 ${a_{n}}$ 的前4项，则 ${a_{n}}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = 2 n - 1$ B、 $a_{n} = 2^{n} - 1$ C、 $a_{n} = 3^{n}$ D、 $a_{n} = 3^{n - 1}$

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4. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} y \geq 0 \\ y \leq x \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最大值为（）

A、0 B、3 C、8 D、9

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} a_{5} = 64$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{1} + a_{2}} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、64

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6. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 是三条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // γ$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b // α$ D、若 $α // β$ ， $a ⊥ α$ ，则 $a ⊥ β$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{19}{10}$ D、 $\frac{21}{11}$

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8. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，过 $B E$ 的平面 $α$ 与直线 $A_{1} F$ 平行，则平面 $α$ 截该正方体所得截面的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、5

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，则下列各数是 ${a_{n}}$ 的项的有（）

A、-2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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10. 已知 $a > b > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a + b > 2 c$ B、 $a - b > b - c$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} + 1$ C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上为减函数 D、 $\frac{5 π}{6}$ 为 $f (x)$ 的一个零点

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12. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ （底面 $A B C D$ 为正方形， $P$ 在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）

A、 $A C ⊥ P B$ B、 $A B$ 与 $P D$ 所成角等于 $B C$ 与 $P D$ 所成角 C、若平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l$ .则 $l // A D$ D、平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成二面角与 $∠ A P B$ 相等或互补

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三、填空题

13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是.

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14. 如图.网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为.

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15. 等腰三角形顶角的余弦值为 $\frac{5}{13}$ ，则一个底角的正切值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + (2 n - 1) a_{n} = 2^{n + 1}$ ，则 $a_{3} =$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} \geq {(- 1)}^{n} λ$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，满足 $a \cos C + c \cos A = 2 b \cos B$ .

(1)、求B；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 边上的中点， $A D = \sqrt{7}$ ， $A B = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ （底面 $A B C$ 是正三角形，侧棱与底面垂直）， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $E - A B C$ 的体积.

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19. 在① $S_{3} = a_{6}$ ，② $S_{4} = 20$ ，③ $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 24$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{3} = 6$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}} + a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = C D = B C = 1$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P B D$ 所成角的大小.

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21. 已知 $f (x) = 2 x^{2} - (a + 2) x + a$ ， $a \in R$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若方程 $f (x) = x + 1$ 有两个正实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的最小值.

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22. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图， $A - B - C - A$ 为某市的一条健康步道， $A B$ ， $A C$ 为线段， $\overset{⌢}{B C}$ 是以 $B C$ 为直径的半圆， $A B = 2 \sqrt{3} km$ ， $A C = 4 km$ ， $∠ B A C = \frac{π}{6}$ .

(1)、求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度；

(2)、为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道 $A - D - C$ （ $B$ ， $D$ 在 $A C$ 两侧）， $A D$ ， $C D$ 为线段.若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ， $A$ 到健康步道 $B - C - D$ 的最短距离为 $2 \sqrt{3} km$ ，求 $D$ 到直线 $A B$ 距离的取值范围.

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