福建省三明市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某市教育行政部门为了解线上教学效率，从该地小学三年级、初中一年级、高中三年级抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）

A、抽签法 B、系统抽样法 C、分层抽样法 D、随机数法

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2. sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分为87，89，90，91，92，93，94，96，则这组数据的平均数是（）

A、91 B、91.5 C、92 D、92.5

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4. 如图，正方形ABCD的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，恰有53个点落入阴影图形M中，则图形M的面积的估计值为（）

A、0.47 B、0.53 C、0.94 D、1.06

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5. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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6. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且a：b：c＝4：5：6，则cosA＝（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 下图是相关变量 $x ， y$ 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程： $\hat{y} = b_{1} x + a_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ；方案二：剔除点 $(10 ， 32)$ ，根据剩下数据，得到线性回归方程： $\hat{y} = b_{2} x + a_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ；则（）

A、 $0 < r_{1} < r_{2} < 1$ B、 $0 < r_{2} < r_{1} < 1$ C、 $- 1 < r_{1} < r_{2} < 0$ D、 $- 1 < r_{2} < r_{1} < 0$

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8. 已知递增等差数列{a_n}，的前n项和为S_n ，且a₂+a₄＝8，a₁a₅＝﹣20，则 $\frac{S_{9}}{9}$ ＝（）

A、10 B、12 C、28 D、90

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9. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y（单位：万件）之间的关系如表：

x

1

2

3

4

y

m

28

42

56

根据表中数据，求得回归直线方程为 $\hat{y}$ ＝15x﹣2，则表中m的值为（）

A、12 B、13 C、16 D、22

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10. 如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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二、多选题

11. 若 $- 1 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ 则下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ B、lna²＞lnb² C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > - 1$

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12. 已知数列{a_n}满足a₁＝﹣11，且3（2n﹣13）a_n₊₁＝（2n﹣11）a_n ，则下列结论正确的是（）

A、数列{a_n}的前10项都是负数 B、数列{a_n} 先增后减 C、数列{a_n} 的最大项为第九项 D、数列{a_n}最大项的值为 $\frac{1}{729}$

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三、填空题

13. 已知事件 $A ， B$ 互相对立，且 $P （ A ）＝ 2 P （ B ）$ ，则 $P （ A ）$ ＝．

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14. 设变量x ， y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 5 ⩽ 0 \\ x - y - 1 ⩽ 0 \\ x \geq 1 \end{array}$ ，则目标函数z＝2x+y的最大值为．

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15. 已知tanα＝2tan $\frac{π}{8}$ ，则 $\frac{\cos (α - \frac{3}{8} π)}{\sin (α - \frac{π}{8})}$ ＝．

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16. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是；若标签的选取是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是．

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四、解答题

17. 已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n₊₁＝3a_n+1．

(1)、证明{2a_n+1}是等比数列；

(2)、求数列{a_n}的前n项和S_n ．

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18. 在全国高中数学联赛培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩（单位：分）如茎叶图所示：

(1)、从甲的6次成绩中随机抽取2次，试求抽到119分的概率；

(2)、若从甲、乙两名学生中选择一人参加全国高中数学联赛，你会选择哪一位？说明理由．

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19. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知sin（A+C）＝2﹣2cosB ．

(1)、求cosB；

(2)、若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b ．

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20.

(1)、已知a＞b＞0，m＞0．求证： $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$

(2)、设f（x）＝ $\frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + x + 1}$ （3≤x≤4），利用（1）的结论证明f（x）＞ $\frac{3}{8}$ ．

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21. 已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₂+a₃+a₄＝28，且a₃+2是a₂ ， a₄的等差中项．

(1)、求q的值；

(2)、设数列{（b_n₊₁﹣b_n）a_n}的前n项和为2n²+n ，且b₁＝1，求数列{b_n}的通项公式．

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22. 2020年新冠病毒爆发，许多志愿者积极参加抗疫活动．现有甲、乙两位志愿者同时徒步从A地出发赶往C地，甲不经B地直接匀速前往C地，他的速度（单位：千米/小时）范围由函数 $v (x) = 5 \sin (\frac{π}{3} + 2 x) - 10 \sqrt{3} \cos^{2} x + 5 \sqrt{3} (\frac{π}{6} < x < \frac{7 π}{12})$ 决定：乙经B地接人后前往C地，速度为8千米/小时，此间在B地停留15分钟，其中AC＝5千米，AB＝4千米，BC＝2千米，如图．

(1)、求v（x）的取值范围；

(2)、若甲以最快速度赶往C地，且志愿者的对讲机的有效通话距离是3千米，试问这一路上甲、乙两人的对讲机是否能正常通话？请说明理由．

(3)、甲、乙到达C地后原地等待，为使两位志愿者在C处互相等待的时间不超过1小时，甲的速度v（x）中x应控制在什么范围内？

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