福建省泉州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\pm \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、6 D、-6

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4. 要得到函数 $y = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $y = \cos \frac{x}{2}$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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5. 如图是2020年1月23日至2月13日我国新冠肺炎疫情的数据走势图（其中1月23日-2月5日，重症率=现有重症/累计确诊；2月6日开始公布现有确诊数，重症率=现有重症/现有确诊）.若以图中所示方法界定月份，则下列说法错误的是（）

A、2月份的重症率明显下降 B、2月11日的治愈率约为死亡率的4.3倍 C、2月1日后治愈率超过死亡率 D、2月以来，新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势

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6. 甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则恰有一人答对的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = \frac{3 π}{4}$ ， $E$ 是线段 $C D$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺“葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”.意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？（注：1丈=10尺）

A、21尺 B、23尺 C、27尺 D、29尺

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} C + \sin A \sin B$ ，若 $a b = c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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10. 图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 $6 cm$ ，高 $9 cm$ （不含杯脚），已知水的高度是 $8 cm$ ，现往杯子中放入一种直径为 $1 cm$ 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A、36颗 B、42颗 C、48颗 D、54颗

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二、多选题

11. 某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（）

A、平均数为3，极差是3 B、中位数是3，极差是3 C、平均数为3，方差是0.8 D、中位数是3，方差是0.56

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12. 如图菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置后，连接 $A_{1} C$ ， $A_{1} B$ .若 $F$ 是 $A_{1} C$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有（）

A、异面直线 $A_{1} E$ 与 $D C$ 所成的角不断变大 B、二面角 $A_{1} - D C - E$ 的平面角恒为 $45 °$ C、点 $F$ 到平面 $A_{1} E B$ 的距离恒为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、当 $A_{1}$ 在平面 $E B C D$ 的投影为 $E$ 点时，直线 $A_{1} C$ 与平面 $E B C D$ 所成角最大

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三、填空题

13. 若复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则 $| z | =$ .

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14. 已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为5000，4000，3000.现采用分层抽样的方法调查该地区中小学的“智慧阅读”情况在抽取的样本中，若初中学生人数为80，则高中学生人数应为.

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15. 已知 $f (x) = \sin [\frac{π}{3} (x + 1)] - \sqrt{3} \cos [\frac{π}{3} (x + 1)]$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2020) =$

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16. 已知 $| \vec{A B} | = 2$ ， $\frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} \cdot \vec{A B} = 1$ ，动点 $M$ 满足 ${\vec{A M}}^{2} - 3 \vec{A M} \cdot \vec{A B} + 8 = 0$ .当 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 取到最小值时， $| \vec{C M} |$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 为研究某植物园中某类植物的高度，随机抽取了高度在 $[30 ， 100]$ （单位： $cm$ ）的50株植物，得到其高度的频率分布直方图（如图所示）.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若园内有该植物1000株，试根据直方图信息估计高度在 $[70 ， 90)$ 的植物数量.

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C ⊥ A B$ ， $A C = B D = 5$ ， $C D = \sqrt{41}$ .

(1)、求 $△ B C D$ 的面积；

(2)、求 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离.

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3} A D$ ， $∠ A D B = ∠ C D B = 2 ∠ A B D$ .

(1)、求 $∠ A B D$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{7}$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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20. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B // D C$ ， $A B = 2 D C$ ， $A D = \frac{\sqrt{2}}{2} D C$ ， $M$ 是 $P B$ 中点.

(1)、求证： $C M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证： $P D ⊥ B C$

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21. 已知函数 $f (x) = 3 \sin x + \sqrt{3} \cos x$ ， $g (x) = \max {2 \sin x ， 2 \sqrt{3} \cos x}$ ， $F (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、求 $g (\frac{π}{6})$ ；

(2)、求 $F (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 的单调递增区间；

(3)、若 $x \in [x_{1} ， x_{2}]$ ， $F (x) \leq - \sqrt{3}$ ，求 $x_{2} - x_{1}$ 的最大值.
（注： $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， & a \geq b ， \\ b ， & b \geq a . \end{array}$ ）

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22. 某省采用的“

3 + 1 + 2

”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换

T

分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分

Y

等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。

某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表：

等级	A	B	C	D	E
比例	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
政治学科各等级对应的原始分区间	$[81 ， 98]$	$[72 ， 80]$	$[66 ， 71]$	$[63 ， 65]$	$[60 ， 62]$
化学学科各等级对应的原始分区间	$[90 ， 100]$	$[77 ， 89]$	$[69 ， 76]$	$[66 ， 68]$	$[63 ， 65]$

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：

政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79

化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70

并根据上述数据制作了如下的茎叶图：

(1)、茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：

①应填， ②应填， ③应填， ④应填， ⑤应填， ⑥应填.

(2)、该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6；②7；③8；④9；⑤8；⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

(3)、若从该校政治、化学学科等级为A的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为

A

等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级	A	B	C	D	E
原始分从高到低排序的等级人数占比	约15%	约35%	约35%	约13%	约2%
转换分 $T$ 的赋分区间	$[86 ， 100]$	$[71 ， 85]$	$[56 ， 70]$	$[41 ， 55]$	$[30 ， 40]$

2：计算转换分 $T$ 的等比例转换赋分公式： $\frac{Y_{2} - Y}{Y - Y_{1}} = \frac{T_{2} - T}{T - T_{1}}$ （其中： $Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，分别表示原始分 $Y$ 对应等级的原始分区间下限和上限； $T_{1}$ ， $T_{2}$ 分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限. $T$ 的计算结果按四舍五入取整）

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