福建省宁德市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 倾斜角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 9$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $6$ 项之和等于（）

A、11 B、12 C、24 D、36

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、12π B、48π C、60π D、20π

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4. 已知直线 $l_{1}$ 过 $(0, 0)$ 、 $(1, - 3)$ 两点，直线 $l_{2}$ 的方程为 $a x + y - 2 = 0$ ，如果 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a$ 值为（）

A、-3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、3

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ D、若 $m \subset α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A C$ ， $B C$ ， $B D$ ， $C D$ 的中点，则 $E F$ 与 $G H$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 若不等式 $a x^{2} + 2 a x + 1 > 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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8. 如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第 $n$ 个圆环解下最少需要移动的次数记为 $f (n)$ （ $n \leq 9$ 且 $n \in N^{*}$ ），已知 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 1$ ，且通过该规则可得 $f (n + 2) = f (n + 1) + 2 f (n) + 1$ ，则移动7次最多可以解几个环（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ C、若 $a b = 1$ ，则 $a + b \geq 2$ D、若 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $a b \leq \frac{1}{2}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列说法正确的有（）

A、 $A ： B ： C = a ： b ： c$ B、 $\frac{a}{\sin A} = \frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C}$ C、若 $\sin A < \sin B$ ，则 $A < B$ D、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $a = b$

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11. 公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{11} > 0$ ， $S_{12} < 0$ ，下列说法正确的有（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{7} > 0$ C、 ${S_{n}}$ 中 $S_{5}$ 最大 D、 $| a_{4} | < | a_{9} |$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是线段 $A B_{1}$ 上的动点，以下结论正确的有（）

A、 $B D //$ 平面 $A D_{1} P$ B、 $D_{1} P ⊥ A_{1} C$ C、 $D_{1} P$ 与 $C_{1} D$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ D、 $P$ 是 $A B_{1}$ 中点时，直线 $P B$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成的角最大

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三、填空题

13. 在三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则边 $c$ 的长为．

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14. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x + y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，目标函数是 $z = 3 x - y$ ，则 $z$ 的最大值为．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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16. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 $P$ 、 $Q$ ，若线段 $P Q$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 2$ ，则正方体的棱长为；正方体的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ ： $2 x - y - 6 = 0$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，且点 $A$ 在直线 $m$ 上．

(1)、若 $m ⊥ l$ ，求直线 $m$ 的方程；

(2)、若点 $B (1, 1)$ 到直线 $m$ 的距离等于2，求直线 $m$ 的方程．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 a \cos B = b \cos C + c \cos B$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $c - a = 2 \sqrt{2}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 a x + b$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, b)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $b = 3 a$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 1$ ．直线 $P B$ 与面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，点 $E$ 在线段 $P A$ 上．

(1)、若点 $E$ 是 $A P$ 的中点，求证： $P C / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $A E = \frac{2}{3} P A$ ，求多面体 $B C P E D$ 的体积．

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21. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．宁德某新能源公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目，第一年该项目维修保养费用为24万元，以后每年增加8万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设第 $n$ 年底，该项目的纯利润为 $f (n)$ ．（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）

(1)、写出 $f (n)$ 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？

(2)、若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目；你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由．

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22. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{2} + a_{3} = 6$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足 $(1 - \frac{1}{b_{1}}) \cdot (1 - \frac{1}{b_{2}}) \cdot (1 - \frac{1}{b_{3}}) \dots (1 - \frac{1}{b_{n}}) = \frac{1}{b_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{b_{n}^{2} - 1} - a_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $\frac{{(- 1)}^{n} λ}{2^{n}} - 1 < \frac{T_{n}}{2^{n}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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