福建省福州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{2，3，4}，则∁_AB＝（）

A、{0，1} B、{1，5} C、{0，1，5} D、{0，1，2，3，4，5}

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2. 函数y＝lg（2﹣x）+ $\sqrt{x}$ 的定义域为（）

A、（0，2） B、[0，2） C、[0，2] D、[0，+∞）

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3. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq - 1 \\ x - y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、5

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4. 已知a＝log_0.53，b＝3^0.5 ， c＝0.5^0.5 ，则（）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、a＜c＜b D、c＜a＜b

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5. 任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉（Euler ， 1707﹣1783）发现，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B（5，0），C（0，1），且AB＝AC ，则△ABC的欧拉线方程为（）

A、5x﹣y﹣12＝0 B、5x﹣y﹣24＝0 C、x﹣5y+12＝0 D、x﹣5y＝0

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6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，1)上单调递增的是（）

A、f(x)＝x+ $\frac{1}{x}$ B、f(x)＝ $| \log_{2} x |$ C、f(x)＝ $\log_{\frac{1}{2}} | x |$ D、f(x)＝ $e^{x} + e^{- x}$

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7. 已知数列{a_n}满足a_n＝1+2+3+ $\dots$ +n，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2020}} =$ （）

A、 $\frac{2020}{2021}$ B、 $\frac{2019}{1010}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{4040}{2021}$

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8. 若平面内两定点A，B之间的距离为2，动点P满足|PB|＝ $\sqrt{2}$ |PA|，则tan∠ABP的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 在△ABC中，AB＝AC ， BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（）

A、 $\vec{B D} - \vec{A D} = \vec{A B}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 8$ D、 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$

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10. 已知函数f（x）＝sin（x+ $\frac{π}{3}$ ），则以下判断正确的是（）

A、2π是f（x）的最小正周期 B、（ $\frac{2 π}{3}$ ，0）是f（x）图象的一个对称中心 C、x＝﹣ $\frac{π}{3}$ 是f（x）图象的一条对称轴 D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6})$ 是f（x）的一个单调递减区间

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11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则下列判断正确的是（）

A、该三棱锥的体积为 $\frac{4}{3}$ B、该三棱锥的表面积为 $6 + \sqrt{5}$ C、该三棱锥的各个面都是直角三角形 D、该三棱锥的各条棱中，最长的棱的长度为 $\sqrt{21}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (x) = f (2 - x)$ ．若 $f (1) = 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (3) = 1$ B、4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2018) + f (2019) + f (2020) = - 1$ D、 $f (x)$ 必存在最大值

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $(- 4, 3)$ ，则 $\cos α =$ ．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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15. 某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x千件，需投入成本c（x）万元，c（x）＝x²+10x ．若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不亏损，则a的最小值为．

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16. 在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，∠ABC＝90°，则该三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - 2 a) x - 2$ ．

(1)、若a＝2，求不等式f（x）＜0的解集；

(2)、若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（ $\frac{1}{3}$ ，b），求a+b的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) - m$ （ $m \in R$ ）

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、试给出m的一个值，使得 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，并说明理由．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的无穷等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{5} = 96$ ， ▲ ．该数列是否满足对于任意的正整数 $n$ ，都有 $S_{n} < 3072$ ？若是，请给予证明；否则，请说明理由．从① $q = 2$ ，② $q = \frac{1}{2}$ ，③ $q = - 2$ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\sqrt{3} a = \sqrt{3} b \cos C + c \sin B$

(1)、求B；

(2)、设b＝2，求sinAsinC的最大值．

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21. 在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D ， E分别为AC₁ ， B₁C的中点．

(1)、证明：DE∥平面A₁B₁C₁；

(2)、若A₁B₁＝B₁C＝2 $\sqrt{2}$ ，AA₁＝AC＝2，证明：C₁E⊥平面ACB₁ ．

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22. 已知A ， B ， C为圆x²+y²＝1上的3个不同的动点，且坐标原点O在△ABC的内部．

(1)、若∠ACB＝ $\frac{π}{6}$ ，则是否存在以O为圆心且与动直线AB恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由；

(2)、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} + \vec{O A} \cdot \vec{O C} = - \frac{3}{2}$ 求△ABC的面积．

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