湖北省孝感市2021年数学中考调研试卷（4月）

试卷更新日期：2021-05-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、 $- 3$ B、0 C、1 D、2

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2. 如图，有一块含有 $45 °$ 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果 $∠ 1 = 20 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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3. 我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末，高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为（）

A、 $37.9 \times 10^{3}$ B、 $3.79 \times 10^{4}$ C、 $0.379 \times 10^{5}$ D、 $3.79 \times 10^{5}$

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4. 下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 x - x = 2$ B、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ C、 ${(- x y^{3})}^{2} = x^{2} y^{6}$ D、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$

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6. 某班篮球爱好小组10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数进行统计，制成下表：

投中次数

2

3

5

6

7

8

人数

1

2

3

2

1

1

则关于这10名队员投中次数组成的数据，下列说法错误的是（）

A、平均数为5 B、中位数为5 C、众数为5 D、方差为5

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7. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形 $A B C D$ 的内角，正方形 $A B C D$ 变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ D^{'} A B = 60 °$ ，则菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积与正方形 $A B C D$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2$ .动点P沿 $A B$ 从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作 $A B$ 的垂线，交折线 $A - C - B$ 于点Q.记 $A P = x$ ， $△ A P Q$ 的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 化简 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1} =$ .

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10. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： $\sqrt{3}$ ，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是：.

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11. 已知方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) =$ .

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $B C = \frac{1}{2}$ .进行如下操作：
①以点C为圆心，以 $B C$ 的长为半径画弧交 $A C$ 于点D；

②以点A为圆心，以 $A D$ 的长为半径画弧交 $A B$ 于点E.

则点E是线段 $A B$ 的黄金分割点.

根据以上操作， $A E$ 的长为.

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13. 中华文化源远流长，文学方面：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了解学生在寒假期间对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，本次调查所得数据中，扇形统计图中“读完了4部”所在扇形的圆心角为度；

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14. 若x是不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 > 3 (x - 1) \\ 7 - 2 x ⩾ - 1 \end{array}$ 的整数解，则所有符合条件的x值的和为.

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15. 如图，平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， $C (- 4 ， 2)$ ，将 $△ A B C$ 沿x轴折叠得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ，再将 $△ A_{1} B C_{1}$ 绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，则点 $C_{1}$ 的对应点 $C_{2}$ 的坐标为.

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16. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 10$ ，…，那么 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{10}}$ 的值是.

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{8} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - | - 2 \sqrt{2} |$ .

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18. 已知 $x^{2} = 2 x + 15$ ，求代数式 ${(x + \sqrt{2})}^{2} - {(x - \sqrt{2})}^{2}$ 的值.

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19. 将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上.

(1)、从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；

(2)、先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y = - x + b$ 的图象在第一象限交于 $A (1 ， 3)$ 、 $B (3 ， 1)$ 两点.

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、已知点 $P (a ， 0) (a > 0)$ ，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数 $y = - x + b$ 的图象于点M，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点N.若 $P M > P N$ ，结合函数图象直接写出a的取值范围.

(3)、若Q为y轴上的一点，使 $Q A + Q B$ 最小，求点Q的坐标.

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A C B$ 的平分线与 $⊙ O$ 交于点D，与 $A B$ 交于点E.点F为 $D C$ 的延长线上一点，满足 $∠ F B C = ∠ B D C$ .

(1)、求证： $B F$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $B D = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划.从2021年1月开始生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6万元/件，设第x（ $1 \leq x \leq 12$ ，且x为整数）月份该种产品的售价为y万元/件，y与x之间的函数关系如图所示.

(1)、直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、第x月份生产并销售的产品数量为z件， $z = 2 x + 8$ （ $1 \leq x \leq 12$ ，且x为整数）.该公司在第几月份所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？

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23. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ .若点D在 $B C$ 边上运动时，总保持 $∠ A D E = ∠ B$ ，连接 $C E$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点F.

(1)、①如图1，当点D为 $B C$ 边中点时，求 $\frac{C E}{B C}$ 的值；
②如图2，当点D不为 $B C$ 边中点时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当点D在 $B C$ 边上运动中恰好使得 $A E / / B C$ 时，若 $A B = 12$ ， $B C = 16$ ，求 $C E$ 的长.

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24. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $C (0 ， - 3)$ ，与x轴交于另一点B.

(1)、则抛物线的解析式为；

(2)、点P为第四象限内抛物线上的点，连接 $C P$ ， $A P$ ， $A C$ ，设点P的横坐标为 $m (0 < m < 3)$ .
①如图1，当 $C P ⊥ A C$ 时，求 $\tan ∠ P A B$ 的值；

②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作 $A P$ 的垂线，与射线 $P D$ 交于点E，与x轴交于点F.连接 $A E$ ，当 $∠ E A D = ∠ A C O$ 时，求m的值.

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投中次数	2	3	5	6	7	8
人数	1	2	3	2	1	1