浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-05-06 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、本大题共10题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若函数 $f (x) = \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
2. 命题“实数a，b，c，中至少有一个负数”的否定是（）

A、a，b，c，中至多有1个负数 B、a，b，c，中至多有2个负数 C、a，b，c，中至少有1个负数 D、a，b，c，都是正数

查看试题解析
3. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n + 1} = 2^{n + 2} - 1 (n \in N^{*})$ ，在验证 $n = 1$ 时，左边的所得的项是（）

A、1 B、 $1 + 2$ C、 $1 + 2 + 2^{2}$ D、 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}$

查看试题解析
4. 若 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 若 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} + S_{33} + S_{50} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

查看试题解析
6. 已知 $\tan α = - \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{\cos 2 α} =$ （）

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{5}{22}$ C、 $- \frac{3}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

查看试题解析
7. 双曲线过 $M (\sqrt{3}, 0)$ ，右焦点F到渐近线的距离为2， $Δ A B C$ 的顶点A，B恰好是双曲线的两焦点，顶点 $C$ 在双曲线上，且 $| A C | > | B C |$ ，则 $\frac{\sin ∠ B A C - \sin ∠ A B C}{\sin ∠ A C B} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

查看试题解析
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹为圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且只有一个点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P O |$ .则r的取值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
9. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $| λ \vec{b} - \vec{a} | + | λ \vec{b} - \frac{\vec{a}}{2} |$ （ $λ \in R$ ）的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $1 + \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$

查看试题解析
10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在直线 $B C_{1}$ 运动，给出四个命题：

⑴三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变；

⑵直线AC与直线 $A P$ 所成的角最小值为 $\frac{π}{3}$ ；

⑶二面角 $P - A D_{1} - C$ 的大小不变；

⑷M是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上到直线 $A_{1} A$ 与直线 $B_{1} C_{1}$ 的距离相等的点，则点M的轨迹是抛物线.正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11. 已知 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{1} \cdot z_{2} = 3 + i$ ，则 $| z_{1} | =$ ， $z_{2} =$ .

查看试题解析
12. 函数 $y = e^{x}$ 的图像在点 $A (1, e)$ 处的切线的斜率是，切线的方程为．

查看试题解析
13. 为了支持中国新疆棉花产业，某大学生去新疆喀什某棉花加工厂调查如下：棉花加工年毛利模拟函数为： $g (x) = - 0.1 x^{3} + 0.625 a x^{2} + 0.8 x$ （ $x$ 是棉花加工量，单位为万斤； $a$ 是常数）.每年的固定爱心捐款支出是1万元；每加工1万斤棉花，支出费用增加0.8万元．如果加工2万斤，纯利润是5.7万元，则 $a$ 的值是，棉花年加工量为万斤时纯利润最多．

查看试题解析
14. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）椭圆的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q P} = {| \vec{P Q} |}^{2}$ ， $\vec{P F_{2}} = 3 \vec{F_{2} Q}$ ，则 $∠ F_{1} P Q =$ ，椭圆的离心率为.

查看试题解析
15. 若b是正数，且 $3 a^{2} + 2 b^{2} = 11$ ， $b \sqrt{3 + a^{2}}$ 则的最大值是．

查看试题解析
16. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ， $D S = 1$ ，平面 $A S D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S D ⊥ A D$ ，点 $E$ 为 $D C$ 上的动点，平面 $B S E$ 与平面 $A S D$ 所成的二面角为 $θ$ （ $θ$ 为锐角），则当 $θ$ 取最小值时，三棱锥 $E - A S D$ 的体积为.

查看试题解析
17. 对任意 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ ， $a$ 为正实数，式子 $| 2 a \sin x - b | \leq - 2 b \cos 2 x + 2 b + a$ 恒成立，则实数 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (a x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

查看试题解析
19. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是矩形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、过点 $B$ 作 $B M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，若 $A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $P D = 4$ ， $F$ 为 $P A$ 的中点，设 $B M = 3$ ，在线段 $B M$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45 °$ .若存在，求 $B E$ 的长度；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \ln (x + m) + n$ ，在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x - y = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \leq a e^{x - 1}$ 对定义域内 $x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，且F为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心。过F点的直线l交抛物线与圆分别为 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $B$ （从上到下）.

(1)、求抛物线方程并证明 $| A C | | B D |$ 是定值；

(2)、若 $Δ A O C$ ， $Δ B O D$ 的面积比是4，求直线l的方程.

查看试题解析
22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} - 1} + 1$ ，若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{b_{n + 1} \sqrt{b_{n}}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

查看试题解析