四川省成都市高新区2020-2021学年九年级下学期诊断性考试（3月）

试卷更新日期：2021-05-06 类型：月考试卷

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、﹣5 B、5 C、﹣ $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 如图是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年2月24日，我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道.此次天问一号探测器进入的火星停泊轨道是与火星的最远距离59000公里的椭圆形轨道.将59000用科学记数法表示为（）

A、 $59 \times 10^{3}$ B、 $5.9 \times 10^{4}$ C、 $0.59 \times 10^{5}$ D、 $5.9 \times 10^{5}$

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4. 在平面直角坐标系中，将点 $P (- 3, 2)$ 向左平移2个单位长度后得到的点的坐标为（）

A、 $(- 5, 2)$ B、 $(- 3, - 1)$ C、 $(- 3, 4)$ D、 $(- 1, 2)$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{2} + 2 m^{2} = 3 m^{4}$ B、 $m^{5} \cdot m^{2} = m^{10}$ C、 ${(3 m n)}^{2} = 6 m^{2} n^{2}$ D、 $4 m^{3} \div 2 m = 2 m^{2}$

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6. 如图， $A B // D E$ ， $B C // E F$ ， $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $150 °$

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7. 2021年8月18日，第三十一届世界大学生夏季运动会将在四川成都举行.为迎接大运会的到来，某校开展了主题为“爱成都•迎大运”的演讲比赛.九年级10名同学参加该演讲比赛的成绩如下表，则这组数据的众数和中位数分别为（）

成绩/分

80

85

90

95

人数/人

2

3

4

1

A、 85，87.5 B、85，85 C、90，85 D、90，87.5

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8. 方程组 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = 7 \\ 6 x - 2 y = 11 \end{matrix}$ 的解是（）

A、 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 5 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = \frac{1}{2} \end{matrix}$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的对称轴是 $x = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $c < 0$ C、 $2 a + b = 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是半径为3的 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $O A$ ， $O C$ .若 $∠ A O C = ∠ A B C$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $9 π$

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二、填空题

11. 因式分解： $3 x^{2} + 6 x =$ .

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12. 如图， $△ A B C ≌ △ A B D$ ， $∠ C = 30 °$ ， $∠ A B C = 85 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为.

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13. 一次函数 $y = (2 m - 1) x + m$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是.

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14. 如图，平行四边形ABCD的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $B D ⊥ A D$ ， $A B = 10$ ， $A D = 6$ ，则 $A C$ 的长为.

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15. 若 $\sqrt{a - 3} + | b + 2 | = 0$ ，则 $a + b$ 的值为.

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16. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{x + m}{x - 2} = 2$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是.

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17. 数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 9$ ， $B C = 12$ ， $F$ 是边 $A D$ 上一点，连接 $B F$ ，将 $△ A B F$ 沿 $B F$ 折叠使点 $A$ 落在 $G$ 点，连接 $A G$ 并延长交 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $G D$ .若 $△ D E G$ 是以 $D G$ 为腰的等腰三角形，则 $A F$ 的长为.

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19. 如图，反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + b (b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 右侧），过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ，连接 $A O$ ， $B O$ ，图中阴影部分的面积为12，则 $b$ 的值为.

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三、解答题

20.

(1)、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{12} + 4 \sin 30 ° + | \sqrt{3} - 2 |$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 2) \geq x + 4 \\ \frac{x - 1}{2} < 1 \end{array}$

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21. 先化简，再求值： $(\frac{3}{a + 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4}$ ，从﹣2，﹣1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值.

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22. 为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门球类项目（ $A$ ：篮球， $B$ ：足球， $C$ ：排球， $D$ ：羽毛球， $E$ ：乒乓球），王老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图（如图所示）.

(1)、王老师调查的学生人数是_▲_，请将条形统计图补充完整；

(2)、若该校共有学生1500名，请估计有多少学生选修乒乓球？

(3)、现有4名学生，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，王老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选2人都是选修篮球的概率.

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23. 如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到 $A$ 处时，发现它的东北方向有一灯塔 $B$ ，货轮继续向北航行30分钟后到达 $C$ 点，发现灯塔 $B$ 在它北偏东 $75 °$ 方向，求此时货轮与灯塔 $B$ 的距离.（结果精确到0.1海里，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标为4.

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、过点 $B (\frac{3}{2} ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，与反比例函数图象交于点 $C$ ，将直线 $O A$ 向上平移 $b$ 个单位长度后与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与直线 $B C$ 交于点 $E$ ，与反比例函数图象交于点 $F$ .若 $D E = \frac{1}{2} D F$ ，求 $b$ 的值.

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25. 如图， $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为圆上一点，且 $B$ ， $D$ 两点位于 $A C$ 异侧，连接 $B D$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，点 $F$ 为 $B D$ 延长线上一点，连接 $A F$ ，使得 $∠ D A F = ∠ A B D$ .

(1)、求证： $A F$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当点 $D$ 为 $E F$ 的中点时，求证： $A D^{2} = A O \cdot A E$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $A F = 2 \sqrt{6}$ ，求 $B F$ 的长.

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26. 2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年.为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元的价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量 $y$ （件）与每件售价 $x$ （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：

每件售价 $x$ （元）

…

85

90

95

…

日销售量 $y$ （件）

…

230

180

130

…

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？

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27. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为边 $B C$ ， $A C$ 上的点，连接 $D E$ ，过 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交 $A C$ 边于点 $F$ （ $F$ 不与点 $C$ 重合），点 $G$ 为射线 $D F$ 上一点，连接 $E G$ ，使 $∠ B A C = ∠ D E G = α$ .

(1)、连接 $C G$ ，求证： $△ D E F ∽ △ C G F$ ；

(2)、当 $α = 45 °$ 时，请探究 $A E$ ， $B D$ 与 $C G$ 三者满足的数量关系，并证明；

(3)、如图2，点 $M$ ， $N$ 分别为 $E G$ 和 $A C$ 的中点，连接 $M N$ .若 $\tan α = 2$ ， $B D = \frac{1}{3} C D$ ， $A C = 10$ ，请直接写出 $M N$ 的最小值.

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28. 抛物线 $y = - x^{2} + m x + 2 n$ （ $m$ ， $n$ 为常数，且 $n > 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、若点 $B$ 的横坐标为4，抛物线的对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ .
①求该抛物线的函数表达式；

②如图1，在直线 $B C$ 上方的抛物线上取点 $D$ ，连接 $A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $\frac{S_{△ A B E}}{S_{△ B D E}} = 7$ ，求点 $D$ 的坐标.

(2)、如图2，当 $m = n - 2$ 时，过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，将抛物线在直线 $B C$ 上方的图象沿 $B C$ 折叠，若折叠后的图象（图中虚线部分）与直线 $A F$ 有且只有一个公共点，求 $n$ 的值.

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每件售价 $x$ （元）	…	85	90	95	…
日销售量 $y$ （件）	…	230	180	130	…

成绩/分	80	85	90	95
人数/人	2	3	4	1