初中数学苏科版八年级下册10.4 分式的乘除同步训练

试卷更新日期：2021-05-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ B、 $- a^{2} b^{2} \cdot 3 a b^{3} = - 3 a^{2} b^{5}$ C、 $\frac{b}{a - b} + \frac{a}{b - a} = - 1$ D、 $\frac{a^{2} - 1}{a} \cdot \frac{1}{a + 1} = - 1$

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2. 计算 $(1 ＋ \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} ＋ 2 x ＋ 1}{x}$ 的结果是（）

A、x＋1 B、 $\frac{1}{x ＋ 1}$ C、 $\frac{x}{x ＋ 1}$ D、 $\frac{x ＋ 1}{x}$

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3. 化简 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - 6 x + 9} \div \frac{x + y}{2 x - 6}$ 的结果是（）

A、 $\frac{x - y}{x - 3}$ B、 $\frac{2}{x - 3}$ C、 $\frac{2 x - y}{x - 3}$ D、 $\frac{2 x - 2 y}{x - 3}$

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4. 计算 $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \div \frac{a - b}{a}$ 的结果为（）

A、 $\frac{a + b}{b}$ B、 $\frac{a - b}{b}$ C、 $\frac{a - b}{a}$ D、 $\frac{a + b}{a}$

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5. 如图，在数轴上表示 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x^{2} + 2 x} \div \frac{1}{4 x}$ 的值的点是（）

A、点 $P$ B、点 $Q$ C、点 $M$ D、点 $N$

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6. 计算 $\frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div (1 + \frac{2}{a - 1})$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{a - 1}$ B、 $\frac{1}{a + 1}$ C、 $\frac{1}{a^{2} - 1}$ D、 $\frac{1}{a^{2} + 1}$

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7. 若代数式 $M \cdot (3 x - y^{2}) = y^{4} - 9 x^{2}$ ，那么代数式M为（）

A、 $- 3 x - y^{2}$ B、 $- 3 x + y^{2}$ C、 $3 x + y^{2}$ D、 $3 x - y^{2}$

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8. 已知m²-m=7，则 $\frac{m - 1}{m + 2} \cdot \frac{m^{2} - 4}{m^{2} - 2 m + 1} \div \frac{1}{m^{2} - 1}$ 的值为（）

A、3 B、 2 C、4 D、5

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9. 若先化简 $(1 + \frac{2}{p - 2}) \div \frac{p^{2} - p}{p^{2} - 4}$ ，再求值，且 $p$ 是满足 $- 3 < p < 3$ 的整数，则化简求值的结果为（）

A、0或 $- \frac{1}{2}$ 或-2或4 B、-2或 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 如图1，设 $k = \frac{甲图中阴影部分面积}{乙图中阴影部分面积} (a > b > 0)$ ，则有（）.

A、0<k< $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ <k<1 C、1<k<2 D、k>2

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二、填空题

11. 计算： $\frac{a b + b^{2}}{5 a b^{2}} \cdot \frac{15 a^{2} b}{a^{2} - b^{2}}$ ＝．

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12. 化简 $(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} + \frac{2}{x + 2}) \div \frac{x}{2 x + 4}$ 的结果是.

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13. 当y＝3x时，计算 $\frac{y^{2} - x^{2}}{5 x^{2} - 4 x y} \div \frac{x + y}{5 x - 4 y}$ 的结果等于．

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14. 化简： $(1 - \frac{2}{x - 1}) • \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ 的结果是.

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15. 已知x²－4x＋4与 $| y - 1 |$ 互为相反数，则式子 $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$ ÷(x＋y)的值为．

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16. 已知：x：y：z=2：3：4，则 $\frac{x + 2 y - z}{x - y + 3 z}$ 的值为.

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17. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 1$ ，则简 $\frac{a + a b - b}{a - 2 a b - b}$ 的值等于 .

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18. 已知实数a，b，c满足 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1$ ，则 $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} =$ ．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + x} \div (x - 1 - \frac{8}{x + 1}) - \frac{1}{x - 3}$ ，其中 $x = 2$ .

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20. 先化简，再求值： $(\frac{4 x + 6}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 取－1、＋1、－2、－3中你认为合理的数.

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21. 先化简，再求值： $(\frac{2 m - 1}{m + 1} - m + 1)$ ¸ $\frac{m - 2}{m^{2} + 2 m + 1}$ +2m，其中m是方程x²-x-5=0的根.

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22. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中x的值从不等式组 ${\begin{array}{l} - x \leq 1 \\ 2 x - 1 < 4 \end{array}$ 的整数解中选取．

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23. 以下是小明化简分式 $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的过程．
解：原式

$= (\frac{x}{x^{2} + x} - \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$                               ①

$= \frac{x - x^{2} + x}{x^{2} + x} \times \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$                                     ②

$= \frac{- x (x - 2) {(x + 1)}^{2}}{x {(x + 1)}^{2} (x - 1)}$                                           ③

$= \frac{2 - x}{x - 1}$                                                      ④

(1)、小明的解答过程在第步开始出错；

(2)、请你帮助小明写出正确的解答过程，并计算当 $x = 2$ 时分式的值．

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24. 化简 $(\frac{2 x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} - \frac{x^{2} + x}{x^{2} + 2 x + 1}) \div \frac{x}{x - 1}$ 并解答：

(1)、当 $x = \sqrt{2} - 1$ 时，求原代数式的值；

(2)、原代数式的值能等于-1 吗？为什么？

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25. 已知分式 A = $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 1}$

(1)、化简这个分式；

(2)、当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；

(3)、若A的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和.

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26. 已知 $x = a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ， $y = b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ ， $z = c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ 时，求 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的值；

(2)、当 $a b + b c + a c \neq 0$ 时,求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$ 的值．

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27. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.

例：已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ，求代数式x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ 的值.

解：∵ $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ，∴ $\frac{x^{2} + 1}{x}$ ＝4

即 $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$ ＝4∴x+ $\frac{1}{x}$ ＝4∴x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ ＝（x+ $\frac{1}{x}$ ）²﹣2＝16﹣2＝14

材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.

例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 $\frac{x}{y + z}$ 的值.

解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）

则 $x = \frac{k}{2} ， y = \frac{k}{3} ， z = \frac{k}{4} ， ∴ \frac{x}{y + z} = \frac{\frac{1}{2} k}{\frac{1}{3} k + \frac{1}{4} k} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7}$

根据材料回答问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{4}$ ，求x+ $\frac{1}{x}$ 的值.

(2)、已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$ ，（abc≠0），求 $\frac{3 b + 4 c}{2 a}$ 的值.

(3)、若 $\frac{y z}{b z + c y} = \frac{z x}{c x + a z} = \frac{x y}{a y + b x} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.

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28. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.

(1)、下列分式：① $\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ；② $\frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ；③ $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ；④ $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$ .其中是“和谐分式”是（填写序号即可）；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出a的值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：原式= $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ = $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}}$ = $\frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{(a b^{2} - b^{3}) b^{2}}$ ，

小强：原式= $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b}$ = $\frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$ ，

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，说出原因，

请你接着小强的方法完成化简.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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