初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减同步训练

试卷更新日期：2021-05-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 计算 $\frac{4}{x + 2} - \frac{x^{2}}{x + 2}$ 的结果是（）

A、 $2 - x$ B、 $x - 2$ C、 $\frac{1}{2 - x}$ D、 $\frac{1}{x - 2}$

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2. 已知 $x \neq 0 ，$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 x}$ 等于（）.

A、 $\frac{1}{2 x}$ B、 $\frac{1}{6 x}$ C、 $\frac{5}{6 x}$ D、 $\frac{11}{6 x}$

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3. 若 $\frac{z}{x^{2} y^{2}}$ ＋M＝ $\frac{9}{x^{2} y^{2}}$ ，则M为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 化简 $\frac{1}{x + 1} - x + 1$ 的结果是（）

A、 $2 - x^{2}$ B、 $- \frac{x^{2}}{x + 1}$ C、 $\frac{2 - x^{2}}{x + 1}$ D、 $- \frac{x^{2} + 2 x}{x + 1}$

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5. 如果 $x - y = 4$ ，那么代数式 $\frac{2 x}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 y}{x^{2} - y^{2}}$ 的值是（）

A、 B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、－ $\frac{1}{2}$

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6. 若分式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =3$ ，则 $\frac{2x-14xy-2y}{x-2xy-y}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，若x为正整数，则表示 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（　　）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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8. 老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．
老师： $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b}$ ，甲： $\frac{a (a + b)}{a^{2} - b^{2}} - \frac{b (a - b)}{a^{2} - b^{2}}$ ，乙： $\frac{a^{2} + a b - a b - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$ ，丙： $\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$ ，丁：1

接力中，计算出现错误的是（）．

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 如果m为整数，那么使分式 $\frac{m + 3}{m + 1}$ 的值为整数的m的值有（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 计算： $\frac{a}{1 - a} + \frac{1}{a - 1} =$ .

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12. 计算： $\frac{x^{2}}{x - 5} + \frac{25}{5 - x}$ 的结果是.

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13. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ =3，则代数式 $\frac{2 x + 3 xy - 2 y}{x - xy - y}$ 的值是．

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14. 若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ =2，则 $\frac{2 x - x y + 2 y}{3 x + 5 x y + 3 y}$ =

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15. 若a²＋5ab－b²＝0，则 $\frac{b}{a}$ － $\frac{a}{b}$ 的值为．

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16. 已知 $\frac{a}{x + 2}$ 与 $\frac{b}{x - 2}$ 的和等于 $\frac{4 x}{x^{2} - 4}$ ，则 $\sqrt{a b}$ = ．

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17. $\frac{1}{R}$ = $\frac{1}{R_{1}}$ + $\frac{1}{R_{2}}$ 是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R₁+R₂≠0．用R₁ ， R₂表示R，则R= ．

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18. 已知实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a b c = - 1, a + b + c = 4, \frac{a}{a^{2} - 3 a - 1} + \frac{b}{b^{2} - 3 b - 1} + \frac{c}{c^{2} - 3 c - 1} = \frac{4}{9}$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} =$ ．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4 x - 4}{x - 2}$ ；

(2)、 $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ﹣x+1．

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20. 计算下列各式．

(1)、 $\frac{x^{2}}{y - x} - \frac{y^{2}}{y - x}$

(2)、 $\frac{a^{2}}{a - 1}$ ﹣a﹣1．

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21. 已知A＝ $\frac{x}{x^{2} - y^{2}}$ ，B＝ $\frac{y}{y^{2} - x^{2}}$ .

(1)、计算：A＋B和A－B；

(2)、若已知A＋B＝2，A－B＝－1，求x、y的值．

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22. 已知 $a, b$ 实数满足 $a b = 1$ ，若 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $N = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b}$ ，请你猜想 $M$ 与 $N$ 的数量关系，并证明．

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23. 阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$ 解答过程如下：

解： $\frac{6}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a + 3}$

$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a + 3}$ ①

$= \frac{6}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{a - 3}{(a + 3) (a - 3)}$ ②

$= 6 + a - 3$ ③

$= a + 3$ ④

问题：

(1)、上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；

(2)、发生错误的原因是：；

(3)、在下面的空白处，写出正确解答过程：

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24. （阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 $M$ 、 $N$ 的大小，只要作出它们的差 $M - N$ ，若 $M - N > 0$ ，则 $M > N$ ；若 $M - N = 0$ ，则 $M = N$ ；若 $M - N < 0$ ，则 $M < N$ .

（解决问题）

小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 $m$ 千克商品，小颖两次购买商品均花费 $n$ 元，已知第一次购买该商品的价格为 $a$ 元 $/$ 千克，第二次购买该商品的价格为 $b$ 元 $/$ 千克（ $a$ ， $b$ 是整数，且 $a \neq b$ ）

(1)、小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 $/$ 千克？

(2)、请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.

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25. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如: $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.

例如：像 $\frac{x + 1}{x - 2}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 2}$ …，这样的分式是假分式；像 $\frac{1}{x - 2}$ ， $\frac{x}{x^{2} - 1}$ …，这样

的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.

解决下列问题:

(1)、将分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 化为整式与真分式的和的形式为：.（直接写出结果即可）

(2)、如果 $\frac{x^{2} + 2 x}{x + 3}$ 的值为整数，求x的整数值.

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26. 阅读材料：
将分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

解：由分母为 $x + 3$ ，可设 $x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x + a) + b$ （b为整数），

则 $x^{2} + 2 x - 5 = (x + 3) (x + a) + b = x^{2} + a x + 3 x + 3 a + b = x^{2} + (a + 3) x + (3 a + b)$ .

$∵$ 对于任意x，上述等式均成立， $∴ {\begin{array}{l} a + 3 = 2, \\ 3 a + b = - 5, \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} a = - 1, \\ b = - 2, \end{array}$

$∴ \frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3} = \frac{(x + 3) (x - 1) - 2}{x + 3} = \frac{(x + 3) (x - 1)}{x + 3} - \frac{2}{x + 3} = x - 1 - \frac{2}{x + 3}$ .

这样，分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 5}{x + 3}$ 就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

解决问题：将分式 $\frac{x^{2} + 3 x + 6}{x - 1}, \frac{- 2 x^{4} - x^{2} + 5}{- x^{2} + 1}$ 分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.

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初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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