初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减同步训练

试卷更新日期：2021-05-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 以下二次根式：① $\sqrt{12}$ ；② $\sqrt{2^{2}}$ ；③ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ；④ $\sqrt{27}$ 中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、①和② B、②和③ C、①和④ D、③和④

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $4+ \sqrt{2} =4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{9} - \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$

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3. 小林在计算时遇到以下情况，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{5^{2}} + \sqrt{12^{2}} = 5 + 12 = 17$ B、 $\sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} = \sqrt{3} - 2$ C、 ${(- \sqrt{4 \frac{2}{3}})}^{2} = \sqrt{{(- 4 \frac{2}{3})}^{2}}$ D、 $\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

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4. 当1 $<$ a $<$ 2时，代数式 $\sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ +|a﹣1|的值是（）

A、1 B、﹣1 C、2a﹣3 D、3﹣2a

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5. 当1＜x＜2时，化简 $\sqrt{x^{2} -4x+4}$ + $\sqrt{x^{2} -2x+1}$ 得（）

A、2x-3 B、1 C、3-2x D、-1

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6. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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7. 如果最简根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A、x≤10 B、x≥10 C、x＜10 D、x＞10　

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8. 如果 $a = \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$ ， $b = \sqrt{3} - 2$ ，那么 $a$ 与 $b$ 的关系是（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a = b$ C、 $a = \frac{1}{b}$ D、 $a < b$

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9. 已知 $a^{2} - 12 a + 1 = 0$ ，当 $0 < a < 1$ 时，则 $\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $- \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\pm \sqrt{10}$

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10. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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二、填空题

11. 若x<2，化简 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} + | 3 - x |$ 的正确结果是.

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12. 已知x＝ $\sqrt{5}$ +2，y＝ $\sqrt{5}$ ﹣2，则x²+y²+2xy＝.

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13. 已知a为实数，化简 $\sqrt{- a^{3}} - a \sqrt{- \frac{1}{a}}$ = ．

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14. 已知 $a = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} ， b = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ ，则二次根式 $\sqrt{a^{3} + b^{3} - 367}$ 的值是．

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15. 已知实数 $\sqrt{3}$ 的整数部分是m，小数部分是n，则 $\frac{m}{n+3}$ ＝.

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16. 已知 $a 、 b$ 为有理数， $m 、 n$ 分别表示 $5 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且 $a m n + b n^{2} = 1$ ，则 $2 a + b =$ .

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17. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 $| a | + \sqrt{{(c - a)}^{2}} + \sqrt[3]{{(b + c)}^{3}} - \sqrt{c^{2}}$ =.

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18. 我们在二次根式的化简过程中得知： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2},$ $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，…，则 $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}})$ $(\sqrt{2020} + 1) =$

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三、解答题

19. 化简：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{24}$

(2)、 ${(3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{3})}^{2} - {(3 \sqrt{5} - 5 \sqrt{3})}^{2}$

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20. 已知a，b，c是△ABC的三边长，化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} - \sqrt{{(b + c - a)}^{2}} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$ 。

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21. 已知菱形ABCD的对角线 $A C = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ , $B D = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ ,求菱形ABCD的周长和面积.

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22. 解答题．

(1)、已知 $x = \sqrt{7} + 1$ ， $x$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

(2)、已知 $a - b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b - c = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$ 的值．

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23. 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用 $\sqrt{2}$ ﹣1来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答下列问题：

(1)、求出 $\sqrt{3}$ +2的整数部分和小数部分；

(2)、已知：10+ $\sqrt{5}$ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．

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24. 在进行二次根式的运算时，如遇到 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，还需做进一步的化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$

这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．

请参照以上方法化简： $\frac{1}{3 + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$

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25. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{（ \sqrt{2} + 1 ）（ \sqrt{2} - 1 ）}$ = $\sqrt{2} - 1$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{（ \sqrt{3} + \sqrt{2} ）（ \sqrt{3} - \sqrt{2} ）}$ = $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

……

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$

(2)、观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子 $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ =.

(3)、利用这一规律计算：（ $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}$ ）（ $\sqrt{2020} + 1 ）$

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26. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得 ${(\sqrt{a})}^{2}$ + ${(\sqrt{b})}^{2}$ ＝m， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ＝ $\sqrt{n}$ ，那么便有：

$\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ ＝ $\sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}}$ ＝ $\sqrt{a}$ ± $\sqrt{b}$ （a＞b）.

例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12

即 ${(\sqrt{4})}^{2}$ + ${(\sqrt{3})}^{2}$ ＝7， $\sqrt{4}$ × $\sqrt{3}$ ＝ $\sqrt{12}$

∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ＝ $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ＝ $\sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}}$ ＝2+ $\sqrt{3}$ .

由上述例题的方法化简： $\sqrt{15 - 4 \sqrt{14}}$ .

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初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减 同步训练

一、单选题

二、填空题

三、解答题

初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减同步训练