高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

试卷更新日期：2021-04-30 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，若该直三棱柱的外接球表面积为 $16 π$ ，则此直三棱柱的高为（）．

A、4 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧面 $P A D$ 是正三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ，若四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ ，则该四棱锥的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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3. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 3$ ， $C D = 1$ ，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，若侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过 $A D ， B C ， B_{1} C_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，那么当底面 $A B C D$ 水平放置时，水面高为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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4. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在半径为5的球面上，且 $A B = A C = 2 \sqrt{14}$ ， $B C = 2 \sqrt{7}$ ， $P$ 为球面上的动点，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{56 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{52 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{49 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{14 \sqrt{7}}{3}$

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5. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $A B$ ， $B C$ 的中点，则四面体 $O P M N$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$

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6. 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 $45 °$ ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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7. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $A D$ 的中点 $O$ .若 $A B = 2$ ， $A D = 6$ ， $P O = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积等于（）

A、 $34 + 6 \sqrt{5}$ B、 $34 + 4 \sqrt{3}$ C、 $6 + 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{3}$ D、 $6 + 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{13}$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则三棱锥 $A - B_{1} C D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、6

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9. 某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 $\sqrt{3}$ 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A、144 B、72 C、36 D、24

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二、多选题

10. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{12}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 $θ$ ，这个角接近 $30 °$ ，若取 $θ = 30 °$ ，侧棱长为 $\sqrt{21}$ 米，则（）

A、正四棱锥的底面边长为6米 B、正四棱锥的底面边长为3米 C、正四棱锥的侧面积为 $24 \sqrt{3}$ 平方米 D、正四棱锥的侧面积为 $12 \sqrt{3}$ 平方米

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三、填空题

12. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是120，E为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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13. 在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P_{1} ， P_{2}$ 分别是线段 $A B ， B D_{1}$ （不包括端点）上的动点，且线段 $P_{1} P_{2}$ 平行于平面 $A_{1} A D D_{1}$ ，则四面体 $P_{1} P_{2} A B_{1}$ 的体积的最大值是.

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14. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A C$ 是边长为3的等边三角形，点M是 $△ P A C$ 的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面 $α$ ，平面 $α$ 与截面PAC交线段的长度为2，则平面 $α$ 与正四棱椎 $P - A B C D$ 表面交线所围成的封闭图形的面积可能为.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；② $2 \sqrt{2}$ ；③3； ④ $2 \sqrt{3}$ .

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15. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 $A$ 、 $B$ 距离之比 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 $A B$ 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是正方体的表面 $A D D_{1} A_{1}$ (包括边界)上的动点，若动点 $P$ 满足 $P A = 2 P D$ ，则点 $P$ 所形成的阿氏圆的半径为；若 $E$ 是 $C D$ 的中点，且满足 $∠ A P B = ∠ E P D$ ，则三棱锥 $P - A C D$ 体积的最大值是.

阿波罗尼奥斯

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16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，且 $A A_{1} = A B = 2$ .下述四个结论正确结论的编号是.

①四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 为“阳马”

②四面体 $A_{1} - C_{1} C B$ 为“鳖臑”

③过 $A$ 点分别作 $A E ⊥ A_{1} B$ 于点 $E$ ， $A F ⊥ A_{1} C$ 于点 $F$ ，则 $E F ⊥ A_{1} B$

④四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 体积最大为 $\frac{2}{3}$

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17. 在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为 $\sqrt{2}$ 的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为.

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18. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，底面边长为2，则侧棱 $P A$ 的长为．

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四、解答题

19. 如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为 $20 cm$ 和 $10 cm$ ，侧面积为 $780 {cm}^{2}$ ，求其体积

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20. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ =12， $B C$ =10， $A A_{1}$ =6，过 $A_{1}^{} D_{1}$ 作长方体的截面 $A_{1} D_{1} E F$ 使它成为正方形，

(1)、求截面 $A_{1} D_{1} E F$ 将正方体分成的两部分的体积比；

(2)、求 $V_{B - A_{1} D_{1} E F}$

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21. 如图，为正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ ，底面边长 $A B = a$ ，高 $A A_{1} = h$ .

(1)、若 $a = h$ ，求异面直线 $B D_{1}$ 和 $C F_{1}$ 所成角的大小；

(2)、计算四面体 $B C D_{1} F_{1}$ 的体积（用 $a ， h$ 来表示）；

(3)、若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足： $2 h + \sqrt{3} a = k$ （ $k$ 为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？

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