挑战高考压轴题专题五：万有引力定律的估算、行星模型

试卷更新日期：2021-04-30 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 2020年11月24日4时30分，在我国文昌航天发射场，长征五号运载火箭顺利将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道。此次“嫦娥五号”探测器将执行月球采样返回任务，完成我国探月工程“绕、落、回”三步走中的最后一步——“回”，其过程大致如下：着陆器在月球表面采样后，将样品转运到上升舱，上升舱点火从月表发射，与在近月轨道上等待的返回舱对接，返回舱再次点火，从而摆脱月球的引力束缚返回地球。请利用以下表格给出的相关数据，估算上升舱的发射速度至少为（）

	地球	月球
质量	$5.97 \times 10^{24}$	$7.35 \times 10^{22}$
半径	6400	1738
公转周期（天）	365	27
自转周期（天）	1	27
引力常量 $G = 6.67 \times 10^{- 11}$

A、

7 .9km/s

B、

11 .2km/s

C、

1 .7km/s

D、

2 .4km/s

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2. 征途漫漫，星河璀璨，2021年2月10日，“天问一号”成功被火星捕获，进入环火星轨道。探测器被火星俘获后经过多次变轨才能在火星表而着陆。若探测器在半径为r的轨道1上绕火星做圆周运动，动能为E_k变轨到轨道2上做圆周运动后，动能增加了 $Δ E$ ，则轨道2的半径为（）

A、 $\frac{E_{k}}{E_{k} + Δ E} r$ B、 $\frac{Δ E}{E_{k} + Δ E} r$ C、 $\frac{E_{k} + Δ E}{Δ E} r$ D、 $\frac{E_{k}}{Δ E} r$

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3. 2020年10月，我国成功地将高分十三号光学遥感卫星送入地球同步轨道。已知地球半径为R，地球的第一宇宙速度为v，光学遥感卫星距地面高度为h，则该卫星的运行速度为（）

A、 $\frac{R}{R + h} v$ B、 $\sqrt{\frac{R}{R + h}} v$ C、 $\frac{R + h}{R} v$ D、 $\sqrt{\frac{R + h}{R}} v$

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4. 2020年11月24日4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器。嫦娥五号探测器在经过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，于2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆。如图所示是嫦娥五号探测器到达月面之前的两个轨道，轨道I为环月圆轨道，轨道II是椭圆轨道，其中B为近月点，A为远月点。下列说法正确的是（）

A、嫦娥五号探测器在轨道II上A点的速度大于在B点的速度 B、嫦娥五号探测器在轨道II运动的周期大于在轨道I运动的周期 C、嫦娥五号探测器从轨道I变轨到轨道II，机械能增加 D、嫦娥五号探测器在轨道I上运动到A点时的加速度等于在轨道II上运动到A点时的加速度

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5. 2020年12月17日，“嫦娥五号”从月球上取土归来，完成了中国航天史上一次壮举。探测器在月球表面完成取土任务返回地球升空时，在火箭推力作用下离开月球表面竖直向上做加速直线运动。一质量为m的物体，水平放置在探测器内部的压力传感器上，当探测器上升到距月球表面高度为月球半径的 $\frac{1}{4}$ 时，探测器的加速度大小为a，压力传感器的示数为F。已知引力常量为G，不计月球的自转，则月球表面的重力加速度大小为（）

A、 $\frac{4 (F - m a)}{5 m}$ B、 $\frac{16 (F - m a)}{25 m}$ C、 $\frac{5 (F - m a)}{4 m}$ D、 $\frac{25 (F - m a)}{16 m}$

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6. 假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回地面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、万有引力常量为G，不计一切阻力。则月球的密度为（）

A、 $\frac{3 π h}{4 R t^{2}}$ B、 $\frac{6 π h}{G R t^{2}}$ C、 $\frac{6 h}{G π R t^{2}}$ D、 $\frac{8 π h}{3 G R t^{2}}$

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二、多选题

7. 中国首次火星探测任务“天问一号”已于2021年2月10日成功环绕火星。火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的 $\frac{3}{2}$ ，火星的半径为地球半径的 $\frac{1}{2}$ ，火星的质量为地球质量的 $\frac{1}{9}$ ，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动（探测器可视为火星的近地卫星），探测器绕火星运行周期为T，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，则（）

A、火星的公转周期和地球的公转周期之比为 $\sqrt{\frac{2^{3}}{3^{3}}}$ B、火星的自转周期和地球的自转周期之比为 $\sqrt{\frac{3^{3}}{2^{3}}}$ C、探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为 $\sqrt{\frac{2}{9}}$ D、火星的平均密度为 $\frac{3 π}{G T^{2}}$

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8. 2018年6月14日11时06分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的 $Halo$ 使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”．如图所示，该 $L_{2}$ 点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动．已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为 $M_{e}$ 、 $M_{m}$ 、m，地球和月球之间的平均距离为R， $L_{2}$ 点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影响，则（）

A、“鹊桥”的线速度大于月球的线速度 B、“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度 C、x满足 $\frac{M_{e}}{{(R + x)}^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}} (R + x)$ D、x满足 $\frac{M_{e}}{{(R + x)}^{2}} + \frac{M_{e}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}} (R + x)$

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9. 2020年7月23日“天问一号”火星探测器成功发射，开启了火星探测之旅，迈出了我国行星探测第一步.“天问一号”将完成“绕、落、巡”系列步骤.假设在着陆前，“天问一号”距火星表面高度为h，绕火星做周期为T的匀速圆周运动，已知火星半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（）

A、火星的平均密度为 $\frac{3 π}{G T^{2}}$ B、“天问一号”圆周运动的角速度大小为 $\frac{2 π}{T}$ C、火星表面重力加速度为 $\frac{4 π^{2} R}{T^{2}}$ D、“天问一号”圆周运动的线速度大小为 $\frac{2 π (R + h)}{T}$

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10. “嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于2020年登陆火星。假如某志愿者登上火星后将一小球从高h 处以初速度的水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知火星半径为R，万有引力常量为G，不计空气阻力，不考虑火星自转，则下列说法正确的是（）

A、火星表面的重力加速度 $g = \frac{h v_{0}^{2}}{L^{2}}$ B、火星的第一宇宙速度为 $v = \frac{v_{0}}{L} \sqrt{2 h R}$ C、火星的质量为 $M = \frac{2 h v_{0}^{2} R^{2}}{G L^{2}}$ D、火星的平均密度为 $\frac{3 h v_{0}^{2}}{2 π G L}$

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11. 飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，P对该星球的张角为 $θ$ ，如图所示。下列说法中正确的是（）

A、轨道半径越大，周期越小 B、张角越大，速度越大 C、若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度 D、若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度

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12. “嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（）

A、月球平均密度为 $\frac{3 v^{2}}{4 π G R^{2}}$ B、月球平均密度为 $\frac{3 v^{2} r}{4 π G R^{3}}$ C、月球表面重力加速度为 $\frac{v^{2}}{R}$ D、月球表面重力加速度为 $\frac{v^{2} r}{R^{2}}$

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13. 2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号B运载火箭，搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货物返回舱试验舱，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被准确送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕。我们可以将载荷组合体送入预定轨道的过程简化为如图所示，轨道A为近地轨道，轨道C为预定轨道。轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，下列说法正确的是（）

A、组合体在轨道B上经过P点速度大于地球的第一宇宙速度 B、组合体在轨道B上经过P点时的加速度大于在轨道A上经过P点的加速度 C、组合体从轨道B进入轨道C需要在Q点减速 D、组合体在轨道B上由P点到Q点的过程中机械能守恒

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14. 地球同步卫星的质量为m，距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球的自转角速度为ω，那么同步卫星绕地球转动时，下列叙述正确的是（）

A、卫星受到的向心力 $F = m R ω^{2}$ B、卫星的加速度 $a = (R + h) ω^{2}$ C、卫星的线速度 $v = R \sqrt{\frac{g}{R + h}}$ D、卫星的线速度 $v = \sqrt[3]{g R^{2} ω}$

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15. 2019年1月3号“嫦娥4号”探测器实现人类首次月球背面着陆，并开展巡视探测。因月球没有大气，无法通过降落伞减速着陆，必须通过引擎喷射来实现减速。如图所示为“嫦娥4号”探测器降落月球表面过程的简化模型。质量m的探测器沿半径为r的圆轨道I绕月运动。为使探测器安全着陆，首先在P点沿轨道切线方向向前以速度u喷射质量为△m的物体，从而使探测器由P点沿椭圆轨道II转至Q点（椭圆轨道与月球在Q点相切）时恰好到达月球表面附近，再次向前喷射减速着陆。已知月球质量为M、半径为R。万有引力常量为G。则下列说法正确的是（）

A、探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期为 $2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}$ B、在P点探测器喷射物体后速度大小变为 $\frac{(m - Δ m) u}{m}$ C、减速降落过程，从P点沿轨道II运行到月球表面所经历的时间为 $\frac{π}{2} \sqrt{\frac{{(R + r)}^{3}}{G M}}$ D、月球表面重力加速度的大小为 $\frac{G M}{R^{2}}$

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16. 卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度为a，卫星的轨道半径为r， $a - \frac{1}{r^{2}}$ 的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T₀ ，引力常量为G，下列说法正确的是（）

A、行星的质量为 $\frac{k}{G}$ B、行星的半径为 $\frac{k}{b}$ C、行星的第一宇宙速度为 $\sqrt{k b}$ D、该行星同步卫星的轨道半径为 $\sqrt[3]{\frac{k T_{0}^{2}}{4 π^{2}}}$

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17. 卫星导航系统是全球性公共资源，多系统兼容与互操作已成为发展趋势。中国始终秉持和践行“中国的北斗，世界的北斗，一流的北斗”的发展理念，服务“一带一路”建设发展，积极推进北斗系统国际合作。与其他卫星导航系统携手，与各个国家、地区和国际组织一起，共同推动全球卫星导航事业发展，让北斗系统更好地服务全球、造福人类。基于这样的理念，从2017年底开始，北斗三号系统建设进入了超高密度发射。北斗系统正式向全球提供RNSS服务，在轨卫星共53颗。预计2020年再发射2﹣4颗卫星后，北斗全球系统建设将全面完成，使我国的导航定位精度不断提高。北斗导航卫星有一种是处于地球同步轨道，假设其离地高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则有（）

A、该卫星运行周期可根据需要任意调节 B、该卫星所在处的重力加速度为（ $\frac{R}{R + h}$ ）²g C、该卫星运动动能为 $\frac{m g R^{2}}{2 (R + h)}$ D、该卫星周期与近地卫星周期之比为 ${(1 + \frac{h}{R})}^{\frac{2}{3}}$

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三、填空题

18. 如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力F₁=；若以球心O为中心挖去一个质量为 $\frac{M}{2}$ 的球体，则剩下部分对质点的万有引力F₂=。

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四、综合题

19. 2020年11月24日4时30分，中国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道。标志着我国月球探测新旅程的开始，飞行136个小时后总质量为m的嫦娥五号以速度v高速到达月球附近P点时，发动机点火使探测器顺利变轨，被月球捕获进入半径为r的环月轨道，已知月球的质量为M，引力常量为G。求

(1)、嫦娥五号探测器发动机在P点应沿什么方向将气体喷出？

(2)、嫦娥五号探测器发动机在P点应将质量为Δm的气体以多大的对月速度喷出？

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20. 已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。地可视为质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。

(1)、北京时间2020年3月9日，中国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星（又称地球同步卫星），它离地高度为h。求此卫星进入地球静止轨道后正常运行时v的大小（不考虑地球自转的影响）；

(2)、为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F₁。在南极时，用测力计测得该小物体的重力为F₂。求地球的质量M。（已知地球自转周期为T）

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21. 天宫二号在距地面h高度处绕地球做匀速圆周运动。2016年10月19日，神舟十一号飞船发射成功，与天宫二号空间站圆满完成自动交会对接。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”在同一轨道围绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G。

(1)、求天宫二号在轨运行线速度v的大小；

(2)、求天宫二号在轨运行周期T；

(3)、若“神舟十一号”在图示位置，欲与前方的“天宫二号”对接，只通过向后方喷气能否实现成功对接?请说明理由。

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22. 我们可以借鉴研究静电场的方法来研究地球周围空间的引力场，如用“引力场强度”、“引力势”的概念描述引力场。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，将地球视为均质球体，且忽略自转。

(1)、类比电场强度的定义方法，写出地球引力场的“引力场强度E”的定义式，并结合万有引力定律，推导距离地心为r（r>R）处的引力场强度的表达式 $E_{引} =G \frac{M}{r^{2}}$ ；

(2)、设地面处和距离地面高为h处的引力场强度分别为 $E_{引}$ 和 $E_{引}^{'}$ ，如果它们满足 $\frac{| E_{引}^{'} - E_{引} |}{E_{引}} \leq 0.02$ ，则该空间就可以近似为匀强场，也就是我们常说的重力场。请估算地球重力场可视为匀强场的高度h（取地球半径R=6400km）；

(3)、某同学查阅资料知道：地球引力场的“引力势”的表达式为 $φ_{引} =-G \frac{M}{r}$ （以无穷远处引力势为0）。请你设定物理情景，简要叙述推导该表达式的主要步骤。

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23. 一球形人造卫星，其最大横截面积为A、质量为m，在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了△H，由于△H <<R，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为M的均匀球体，万有引力常量为G．取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为r时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为 $E_{P} = - \frac{G M m}{r}$ ．

(1)、求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；

(2)、某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请推导：
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时，所受阻力F大小的表达式；

②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数n的表达式．

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24. 2019年10月5日2时51分，我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将“高分十号”地球同步卫星发射升空。一般发射地球同步卫星要经过两次变轨才能进入地球同步轨道。如图所示，先将卫星送入较低的圆轨道Ⅰ，经椭圆轨道Ⅲ进入地球同步轨道Ⅱ。已知“高分十号”卫星质量为m_卫，地球质量为m_地，轨道Ⅰ半径为r₁ ，轨道Ⅱ半径为r₂ ， A、B为两轨道的切点，则下列说法正确的是（）

A、“高分十号”在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9km/s B、若”高分十号”在轨道I上的速率为v₁：则在轨道II上的速率v₂=v₁ $\sqrt{\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ C、在椭圆轨道上通过B点时“高分十号”所受万有引力小于向心力 D、假设距地球球心r处引力势能为E_p=－ $\frac{G m_{地} m_{卫}}{r}$ 则“高分十号”从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅱ，其机械能增加了 $\frac{G m_{地} m_{卫}}{2 r_{1}}$ － $\frac{G m_{地} m_{卫}}{2 r_{2}}$

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25. 2019年1月3号“嫦娥4号”探测器实现人类首次月球背面着陆，并开展巡视探测。因月球没有大气，无法通过降落伞减速着陆，必须通过引擎喷射来实现减速。如图所示为“嫦娥4号”探测器降落月球表面过程的简化模型。质量m的探测器沿半径为r的圆轨道I绕月运动。为使探测器安全着陆，首先在P点沿轨道切线方向向前以速度u喷射质量为△m的物体，从而使探测器由P点沿椭圆轨道II转至Q点（椭圆轨道与月球在Q点相切）时恰好到达月球表面附近，再次向前喷射减速着陆。已知月球质量为M、半径为R．万有引力常量为G．则下列说法正确的是（）

A、探测器喷射物体前在圆周轨道I上运行时的周期为2π $\sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}$ B、在P点探测器喷射物体后速度大小变为 $\frac{(m - △ m) u}{m}$ C、减速降落过程，从P点沿轨道II运行到月球表面所经历的时间为 $\frac{π}{2}$ $\sqrt{\frac{{(R + r)}^{3}}{G M}}$ D、月球表面重力加速度的大小为 $\frac{G M}{R^{2}}$

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