浙江省舟山市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${4, 5}$ B、 ${3, 4, 5}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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3. 已知直线 $l_{1} : a x + 2 y + 3 = 0$ ， $l_{2} : x + (3 - a) y - 3 = 0$ ，则“ $a = 6$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 为得到函数 $y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需要将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位

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5. 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $\vec{A B} = \vec{a} + k \vec{b}$ ， $\vec{A C} = l \vec{a} + \vec{b} (k, l \in R)$ ，且 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 共线，则k ， l应满足（）

A、 $k + l = 0$ B、 $k - l = 0$ C、 $k l + 1 = 0$ D、 $k l - 1 = 0$

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $| 2 x - m | < n$ 的解集为 $(α, β)$ ，则 $β - α$ 的值（）

A、与 $m$ 有关，且与 $n$ 有关 B、与 $m$ 无关，但与 $n$ 有关 C、与 $m$ 有关，且与 $n$ 无关 D、与 $m$ 无关，但与 $n$ 无关

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7. 设函数 $f (x) = x \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 ， \\ 2 x - 3 y \leq 9 ， \\ x \geq 0 ， \end{array}$ 则下列不等式恒成立的是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $y \leq 1$ C、 $x - y + 2 \geq 0$ D、 $x - 3 y - 6 \leq 0$

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9. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $A D$ 中点， $F$ 为 $B C$ 上一点，且 $E F ⊥ B C$ ，将四边形 $A B F E$ 沿直线 $E F$ 折起为四边形 $A^{'} B^{'} F E$ ，则（）

A、 $∠ B^{'} C D \geq \frac{π}{2}$ B、 $∠ B^{'} C D \leq \frac{π}{2}$ C、 $∠ A^{'} D C + ∠ B^{'} C D \geq π$ D、 $∠ A^{'} D C + ∠ B^{'} C D \leq π$

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10. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a (a \in N^{*})$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, 若 a_{n} 为偶数 \\ 2019 + a_{n}, 若 a_{n} 为奇数 \end{matrix} (n \in N^{*})$ ，则下列结论成立的是（）

A、存在正整数 $a$ ，使得 ${a_{n}}$ 为常数列 B、存在正整数 $a$ ，使得 ${a_{n}}$ 为单调数列 C、对任意的正整数 $a$ ，集合 ${a_{n} | n \in N^{*}}$ 为有限集 D、存在正整数 $a$ ，使得任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ ，当 $m \neq n$ 时， $a_{m} \neq a_{n}$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x}, x > 0 \\ x^{2} - 1, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (1) =$ ，则若 $f (a) = - 1$ ，则 $a =$ ．

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12. 某几何体的三视图（单位： $c m$ ）如图所示，则该几何体的最长的棱长为，体积为.

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13. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 3$ ， $S_{4} = 10$ ，则 $a_{n} =$ ； $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{2020}} =$ ．

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 4 \sqrt{5}$ ， $c = 5$ ， $B = 2 C$ ，则 $\cos C =$ ，点D为边 $B C$ 上一点，且 $B D = 6$ ，则 $Δ A D C$ 的面积为.

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15. 已知实数 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，则 $x y$ 的最小值为．

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16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $x + y - 1 = 0$ 与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则△ $A O B$ 的外接圆圆心的坐标为．

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $30 °$ ，若 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $\frac{1}{2} | \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$

(1)、若 $α$ 是第二象限角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，侧面 $P A B$ 为等腰直角三角形， $∠ A P B = 90 °$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ．

(1)、求直线 $P C$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值；

(2)、若 $F$ 为线段 $P A$ 上一点，且满足 $P C //$ 平面 $F B D$ ，求 $\frac{P F}{P A}$ 的值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公比不为1的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $3 a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式和前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ， $\frac{b_{n + 1}}{a_{n + 1}} - \frac{b_{n}}{a_{n}} = 5$ .
（i）求数列 ${b_{n}}$ 的最大项；

（ii）是否存在等差数列 ${c_{n}}$ ，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $2 S_{n} \leq c_{n} \leq 5 - b_{n}$ ？若存在，求出所有符合题意的等差数列 ${c_{n}}$ ；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，已知抛物线 $D ： x^{2} = 2 y$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，且与抛物线 $D$ 在点 $A$ 处的切线垂直．

(1)、若直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，证明： $| F A | = | F Q |$ ；

(2)、若直线 $A F$ 与抛物线交于一点 $C$ （不同于 $A$ ），求△ $A B C$ 面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f_{λ} (x) = λ (x - 1) e^{x} + 1$ ， $(x \in [- 2 ， 0])$ ， $(λ \in R)$ ．

(1)、求函数 $F (x) = f_{1} (x) - a e^{x} (a \in R)$ 区间 $[- 2 ， 0]$ 上的最小值 $m (a)$ ；

(2)、过点 $(3 ， 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，若存在两个不同的实数 $λ_{1}$ ， $λ_{2}$ ，使直线 $l$ 与函数 $f_{λ_{1}} (x)$ 的图象和函数 $f_{λ_{2}} (x)$ 的图象都相切，求实数 $k$ 的取值范围．

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