浙江省金华十校2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 1 \geq 0}, B = {x | 0$ <x<4}，则A∩B=（）

A、(-∞，-1) B、[0，4) C、[1，4) D、(4，+∞)

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2. 若 $\cos α < 0$ ， $\tan α > 0$ ，则 $α$ 是（）

A、第四象限角 B、第三象限角 C、第二象限角 D、第一象限角

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、y=4x B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、y=±2x D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $a^{2} - b^{2} > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = | x | + \frac{1}{x}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如果 $l$ ， $m$ 表示空间中两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不同平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $l \subset α$ ，则 $m // l$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ，则 $β // γ$ C、若 $l \subset α$ ， $m \subset α$ ， $l // β$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l // m$

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7. 函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 的图向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象（）

A、若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小正值是 $\frac{2}{3}$ B、若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小正值是 $\frac{8}{3}$ C、若 $g (x)$ 为奇函数，则 $ω$ 的最小正值是 $\frac{8}{3}$ D、若 $g (x)$ 为奇函数，则 $ω$ 的最小正值是 $\frac{14}{3}$

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8. 已知：椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点分别是 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，点 $C$ 在椭圆上，且 $\vec{F_{2} B_{2}} = 2 \vec{F_{1} C}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ， $E$ 为 $D C$ 边的中点，沿 $A E$ 将 $△ A D E$ 折起至 $△ A D^{'} E$ ，设二面角 $D^{'} - A E - B$ 为 $α$ ，直线 $A D^{'}$ 与平面 $A B C E$ 所成角为 $β$ ，若 $60^{°} < α < 90^{°}$ ，则在翻折过程中（）

A、存在某个位置，使得 $α < β$ B、存在某个位置，使得 $α + β < 90^{°}$ C、 $β > 45^{°}$ D、 $30^{°} < β < 45^{°}$

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10. 已知函数 $f (x) = 3 \sin α x^{2} - 2 (\sin α - \sin β + 1) x - \sin β$ ，记 $x \in [- 1, 1]$ 时 $f (x)$ 的最大值为 $M (α, β)$ ，则对任意的 $α, β \in R$ ， $M (α, β)$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、10

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二、填空题

11. 已知：直线 $l : m x + y - 1 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = n (m, n \in R)$ ，则直线 $l$ 过定点；若直线 $l$ 与圆 $C$ 恒有公共点，则 $n$ 的取值范围是.

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12. 已知： $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ， $< \vec{a}, \vec{b} > = 60^{°}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ；若 $3 \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $k =$ .

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2}, (n = 1) \\ [1 + 2 \cdot {(- 1)}^{λ}] a_{n - 1} + 2 (n \geq 2) \end{array}$ ， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $λ = 1$ 时， $S_{11} =$ ；当 $λ = 2$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ .

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14. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $1 cm$ ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为，该几何体外接球的表面积为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = \sqrt{13}$ ， $b = 3$ ， $A = 60^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x + a$ ，若函数 $y = f [f (x)] - f (x)$ 有三个零点，则 $a =$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $C = 30^{°}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (s i n x + \cos x) + a$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为-1.

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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19. 在三棱锥 $C - A B D$ 中， $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形， $B C = 1$ ， $B C ⊥ C D$ 且平面 $C B D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $P$ ， $E$ 分别为线段 $B D$ 、 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥ C D$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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20. 数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是首项为1，公差不为0的等差数列，且 $\frac{1}{a_{1}}$ ， $\frac{1}{a_{2}}$ ， $\frac{1}{a_{5}}$ 成等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} \cdot b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} \geq \sqrt{2 n - 1}$ .

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21. 已知：抛物线 $C_{1} ： y = x^{2} + 2$ ，过 $C_{1}$ 外点 $P$ 作 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ .

（Ⅰ）若 $P (2 ， 0)$ ，求两条切线的方程；

（Ⅱ）点 $P$ 是椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，求 $△ P A B$ 面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x - 1 (a > 0)$ .
（Ⅰ）求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的单调区间及在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）函数 $g (x) = x f (x)$ 存在最大值，求 $a$ 的最大值.

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