山西省运城市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知z是纯虚数， $\frac{z + 2}{1 - i}$ 是实数，那么z等于（　　）

A、2i B、i C、-i D、-2i

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{5}{3} x - ln (2 x + 1)$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x}$ =（）

A、1 B、0 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 下列说法中正确的个数是（）
①相关系数 $r$ 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， $| r |$ 越接近于1，相关性越弱；

②回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 过样本点中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；

③相关指数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越不好.

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为 $\frac{8}{9}$ ，则A题答对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 如果函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则以下关于函数 $y = f (x)$ 的判断：
①在区间 $(- 2 ， 2)$ 内单调递增；②在区间 $(2 ， 4)$ 内单调递减；③在区间 $(2 ， 3)$ 内单调递增；④ $x = - 3$ 是极小值点；⑤ $x = 4$ 是极大值点．其中不正确的是（）

A、③⑤ B、②③ C、①④⑤ D、①②④

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6. 经检测有一批产品合格率为 $\frac{3}{4}$ ，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1 ， 2)$ 内不是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 8)$ B、 $[2 ， 8]$ C、 $(- \infty ， 2] \cup [8 ， + \infty)$ D、 $(2 ， 8)$

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8. 点P是曲线x²﹣y﹣2ln $\sqrt{x}$ =0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1-ln2) B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ( $\frac{1}{2}$ +ln2) C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1+ln2) D、 $\frac{1}{2}$ (1+ln2)

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9. 现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（）

A、 $A_{6}^{6} A_{7}^{2}$ 种 B、 $A_{4}^{3} A_{7}^{2}$ 种 C、 $A_{3}^{3} A_{6}^{6} A_{7}^{2}$ 种 D、 $A_{4}^{3} A_{6}^{6} A_{7}^{2}$ 种

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10. ${(x^{3} - 2 x + \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项是（）

A、220 B、-220 C、924 D、-924

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11. 若二次函数 $f (x) = x^{2} + 1$ 的图象与曲线 $C ： g (x) = a e^{x} + 1 (a > 0)$ 存在公共切线，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0$ ， $\frac{4}{e^{2}}]$ B、 $(0$ ， $\frac{8}{e^{2}}]$ C、 $[\frac{4}{e^{2}}$ ， $+ \infty)$ D、 $[\frac{8}{e^{2}}$ ， $+ \infty)$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f （ x ）$ 满足 $e^{4 (x + 1)} f (x + 2) = f (- x)$ ，且对任意的 $x \geq 1$ 都有 $f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ （其中 $f^{'} (x)$ 为 $f （ x ）$ 的导数），则下列一定判断正确的是（）

A、 $e^{4} f (2) > f (0)$ B、 $e^{2} f (3) < f (2)$ C、 $e^{6} f (3) < f (- 1)$ D、 $e^{10} f (3) < f (- 2)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处有极值，则 $a$ 的值是．

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14. 若对 ${(1 + x)}^{n} = 1 + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + C_{n}^{3} x^{3} + \dots + C_{n}^{n} x^{n}$ 两边求导，可得 $n {(1 + x)}^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} x + 3 C_{n}^{3} x^{2}$ $+ \dots + n C_{n}^{n} x^{n - 1}$ ，通过类比推理，有 ${(5 x - 4)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，可得 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7}$ 的值为.

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15. 青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - m$ ，若 $f^{2} (k) - f (k) - 2 = 0$ 有两个不同的实数解，则实数 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知复数 $z = k - 2 i (k \in R)$ 的共轭复数 $\bar{z}$ ，且 $z - (\frac{1}{2} - i) = \frac{\bar{z}}{2} - 2 i$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若过点 $(0 ， - 2)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，求直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{x}$ 以及 $y$ 轴所围成的图形的面积.

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18. 新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：

	感染	不感染	合计
年龄不大于50岁			80
年龄大于50岁	10
合计		70	100

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010
$k$	2.706	3.841	5.024	6.6358

(1)、根据已知数据，把表格数据填写完整；

(2)、能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？

(3)、已知在被调查的年龄大于50岁的感染者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有

1

位教师的概率．

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19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕， $A$ 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．

(1)、求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，利用该正态分布，求 $Z$ 落在 $(38.45 ， 50.4)$ 内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于 $(10 ， 30)$ 内的包数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望及方差．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为 $σ = \sqrt{142.75} \approx 11.95$ ；

②若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z ⩽ μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z ⩽ μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a^{2} \ln x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 某种机器需要同时装配两个部件 $S$ 才能正常运行，且两个部件互不影响，部件 $S$ 有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为 $0.5)$ ；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为 $0.5)$

(1)、若从4件一等品和2件二等品共6件部件 $S$ 中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．

(2)、现有两种购置部件 $S$ 的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件 $S$ 的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{x} + (a + 1) \ln x - x - a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $e - 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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