山西省孝义市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q \in R$ 则复数 $(m + n i) \cdot (p - q i)$ 为实数的充要条件是（）

A、 $m p + n q = 0$ B、 $m p - n q = 0$ C、 $n p - m q = 0$ D、 $n p + m q = 0$

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2. 已知点 $P$ 的极坐标是 $(\frac{1}{2} ， π)$ ，则过点 $P$ 且垂直极轴的直线方程是（）

A、 $ρ = \frac{1}{2}$ B、 $ρ = \frac{1}{2} \cos θ$ C、 $ρ = - \frac{1}{2 \cos θ}$ D、 $ρ = - \frac{2}{\cos θ}$

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3. 下列说法错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则 $x = 3$ ”的逆否命题是：“若 $x \neq 3$ ，则 $x^{2} - 4 x + 3 \neq 0$ ” B、“ $x > 1$ ”是“ $| x | > 0$ ”的充分不必要条件 C、若 $p$ 且 $q$ 为假命题，则 $p$ ， $q$ 至少有一个假命题 D、命题 $p$ ：“存在 $x \in R$ 使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”，则 $\neg p$ ：“对于任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 > 0$ ”

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4. 用数学归纳法证明不等式“1＋ $\frac{1}{2}$ ＋ $\frac{1}{3}$ ＋…＋ $\frac{1}{2^{n} - 1}$ ＜n(n∈N^* ， n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）

A、2^k^－1 B、2^k－1 C、2^k D、2^k＋1

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5. 某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. $\int_{0}^{1} (\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} - x) d x =$ （）

A、 $2 + \frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{2} + 1$ C、 $\frac{π}{2} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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7. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 1)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{n^{2}} - y^{2} = 1 (n > 0)$ 的焦点重合， $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $m > n$ 且 $e_{1} e_{2} > 1$ B、 $m > n$ 且 $e_{1} e_{1} < 1$ C、 $m < n$ 且 $e_{1} e_{2} > 1$ D、 $m < n$ 且 $e_{1} e_{2} < 1$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (1) + \ln x$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、-1 D、 $- \frac{3}{2}$

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9. 若 $a$ ， $b$ 是函数 $f (x) = x^{2} - p x + q (p > 0 ， q > 0)$ 的两个不同的零点， $a$ ， $b$ ， $- 2$ 这三个数适当排序后可成等比数列，点 $(a ， 2 b)$ 在直线 $2 x + y - 10 = 0$ 上，则 $p + q$ 的值等于（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 已知函数 $f (x) = sin (x - φ) ，$ 且 $\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} f (x) d x = 0 ，$ 则函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴是（）

A、 $x = \frac{5 π}{6}$ B、 $x = \frac{7 π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{π}{6}$

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11. 若 $X$ 是离散型随机变量， $P (X = x_{1}) = \frac{2}{3}$ ， $P (X = x_{2}) = \frac{1}{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .又已知 $E (X) = \frac{4}{3}$ ， $D (X) = \frac{2}{9}$ ，则 $2 x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、5 D、4

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12. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (2) = 2$ ，当 $x > 0$ 时， $\frac{f (x)}{x} > f^{'} (x)$ 恒成立，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = 0.79$ ，则 $P (ξ \leq - 2) =$ ．

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14. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为．（以数字作答）

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15. 设函数 $f (x) = g (x) + x^{2}$ ，曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1 ， g (1))$ 处的切线方程为 $9 x + y - 1 = 0$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) - a f (x) > 0$ 恰有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = {(1 + x)}^{m} + {(1 + 2 x)}^{n}$ （ $m$ ， $n$ 均为大于1的整数）展开式中 $x$ 的系数为11，且 $m$ ，4， $n$ 成等差数列.求：

(1)、 $x^{2}$ 的系数；

(2)、 $f (x)$ 展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和.

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18. 已知 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $g (x)$ 的极值；

(2)、证明：对任意实数 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) \geq x - 2 a x + 1$ 恒成立.

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19. 为了解某班学生喜爱玩游戏是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱玩游戏的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ .

	喜爱	不喜爱	合计
男生		5
女生	10
合计			50

下面的临界值表供参考：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；

(2)、能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱玩游戏与性别有关？说明你的理由；

(3)、以该班学生的情况来估计全校女生喜爱玩游戏的情况，用频率代替概率.现从全校女生中抽取3人进一步调查，设抽到喜爱玩游戏的女生人数为

ξ

，求

ξ

的期望.

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20. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{4}{x}$ .

(1)、从区间 $(0 ， 4)$ 内任取一个实数 $a$ ，设事件 $A = {$ 函数 $y = f (x) - 2$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上有两个不同的零点 $}$ ，求事件 $A$ 发生的概率；

(2)、若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为 $a$ 和 $b$ ，记事件 $B = {f (x) > b^{2} (b \leq 3)$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立 $}$ ，求事件 $B$ 发生的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 8 x$ ， $q (x) = 2 \ln x - (a + 1) x^{2} + (10 - 2 a) x - 1$

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值 $h (t)$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq q (x)$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值.

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22. 已知在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = - 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，在极坐标系(以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴)中，曲线 $C_{2}$ 的方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 p \cos θ (p > 0)$ ，曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中定点 $M (0, - 4)$ .

(1)、若 $p = 2$ ，求 $| M A | + | M B |$ 的值；

(2)、若 $| M A |$ ， $| A B |$ ， $| M B |$ 成等比数列，求 $p$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $| f (x) | < 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $| a | f (x) \geq | f (a) |$ 对任意 $a \in R$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围.

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