山东省淄博市普通高中部分学校2019-2020学年下学期高二下学期数学（期末）教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{2 - i}{i}$ 对应的点位于（）.

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若函数 $f (x) = e^{- \frac{x}{5}}$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 某校高二期末考试学生的数学成绩 $ξ$ （满分150分）服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ ，且 $P (60 < ξ < 90) = 0.8$ ，则 $P (ξ \geq 90) =$ （）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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4. ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 展开式的常数项为（）

A、-56 B、-28 C、56 D、28

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5. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$

1

2

3

$P$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

缺失数据

则随机变量 $X$ 的期望为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{13}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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6. 参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）

A、360 B、720 C、2160 D、4320

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7. 函数 $f (x) = x^{2} - \sin | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查某大学学生谈恋爱的比例.提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25 张标有数字2.随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（）

A、10% B、20% C、25% D、45%

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = e^{x} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、函数 $f (x)$ 的极小值点为0 C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(0 ， + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x) \geq e$ 恒成立

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10. 下列说法正确的是（）

A、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B、在回归分析中，相关指数 $R^{2}$ 越大，说明回归模型拟合的效果越好 C、随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (x) = 30$ ， $D (x) = 20$ ，则 $n = 45$ D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = \ln y$ 代换后的线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}$ ， $k = 0.3$

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 2$ ，则 $z \cdot \bar{z} = 4$ B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若复数 $z$ 的平方是纯虚数，则复数 $z$ 的实部和虚部相等 D、“ $a \neq 1$ ”是“复数 $z = (a - 1) + (a^{2} - 1) i (a \in R)$ 是虚数”的必要不充分条件

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12. 经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数 $f (x)$ 存在导函数 $f^{'} (x)$ ，称 $\frac{E y}{E x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{Δ y}{y}}{\frac{Δ x}{x}} = f^{'} (x) \cdot \frac{x}{f (x)}$ 为函数 $f (x)$ 的弹性函数，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = C$ （ $C$ 为常数）的弹性函数是 $\frac{E y}{E x} = 0$ B、函数 $f (x) = \cos x$ 的弹性函数是 $\frac{E y}{E x} = - x \tan x$ C、 $\frac{E (f_{1} (x) + f_{2} (x))}{E x} = \frac{E (f_{1} (x))}{E x} + \frac{E (f_{2} (x))}{E x}$ D、 $\frac{E (\frac{f_{1} (x)}{f_{2} (x)})}{E x} = \frac{E (f_{1} (x))}{E x} - \frac{E (f_{2} (x))}{E x}$

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三、填空题

13. 曲线 $y = \sqrt{x + 1}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为.

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14. 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有种涂法.

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15. 若复数 $z$ 满足 $| z - 3 - 4 i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最小值为.

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16. 已知 ${(a x - 1)}^{2020} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2020} x^{2020} (a > 0)$ ，得 $a_{0} =$ .若 ${(a_{0} + a_{2} + \dots + a_{2020})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2019})}^{2} = 1$ ，则 $a =$ .

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四、解答题

17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$

0.050

0.010

0.001

$k$

3.841

6.635

10.828

(1)、根据所给等高条形图数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

满意

不满意

男顾客

女顾客

(2)、根据（1）中列联表，判断是否有 $99 %$ 的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？

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18. 据某县水资源管理部门估计，该县10%的乡村饮用水井中含有杂质 $A$ .为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证.由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测.

(1)、假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质 $A$ 的概率；

(2)、在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的.假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质 $A$ ，试判断“该县 $10 %$ 的乡村饮用水井中含有杂质 $A$ ”的估计是否正确，并说明理由.
参考数据： $9^{3} = 729$ ， $9^{4} = 6561$ ， $9^{5} = 59049$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $x \in (3 ， + \infty)$ 时， $f (x) > 3 x - 8$ ；

(2)、若过点 $M (- 1 ， 1)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的3条切线，求 $a$ 的取值范围.

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20. 线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑.因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑.

(1)、记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件 $A$ ，求 $P (A)$ ；

(2)、用 $ξ$ 表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求 $ξ$ 的分布列及 $ξ$ 的期望值 $E (ξ)$ .

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21. 随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：

年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019
编号 $x$	1	2	3	4	5	6
数量 $y$ （辆）	41	96	116	190	218	275

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 936$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 4081$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 37586$ .

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ，残差 $\hat{e} = y - \hat{y}$ .

(1)、若该小区私家车的数量

y

与年份编号

x

的关系可用线性回归模型来拟合，请求出

y

关于

x

的线性回归方程，并用相关指数

R^{2}

分析其拟合效果（

R^{2}

精确到0.01）；

(2)、由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x - 1}{x^{a}} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	缺失数据

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

	满意	不满意
男顾客
女顾客