山东省枣庄市2019—2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A＝{x|y＝ $\sqrt{x - 1}$ }，B＝{y|y＝2^x}，则A∩B＝（）

A、（1，+∞） B、[1，+∞） C、（0，+∞） D、（0，1]

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2. 命题“ $\forall x > 0 ， \sin x < x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， \sin x \geq x$ B、 $\forall x \leq 0 ， \sin x < x$ C、 $\exists x > 0 ， \sin x \geq x$ D、 $\exists x \leq 0 ， \sin x < x$

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3. 已知函数 $f (x) = a^{x + 1} - \frac{1}{4} (a > 0$ ，且a≠1）的图象过定点（m，n），则 ${(\frac{16}{81})}^{mn} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{27}{8}$

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4. 若复数z满足2z+ $\bar{z}$ ＝3+2i²⁰²¹（i为虚数单位），则z＝（）

A、1+2i B、1﹣2i C、﹣1+2i D、﹣1﹣2i

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5. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 若 $(x + 2) {(\frac{1}{x} - a x)}^{7}$ 展开式的常数项等于 $- 280$ ，则 $a =$ （）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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7. 已知点 $(2 ， \frac{1}{4})$ 在幂函数y＝f（x）的图象上，设 $a = f (\log_{0.5} 0.3)$ ， $b = f ({0.5}^{0.3})$ ，c＝f（0.3^0.5），则a ， b ， c的大小关系是（）

A、b＜c＜a B、c＜b＜a C、a＜c＜b D、a＜b＜c

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8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（）

A、 $\frac{3}{32}$ B、 $\frac{15}{64}$ C、 $\frac{5}{32}$ D、 $\frac{5}{16}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是 $($ ）

A、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好 B、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n}$ ， $y_{n})$ 中的一个 C、若 $D (X) = 1$ ， $Y = 2 X - 1$ ，则 $D (Y) = 4$ D、设随机变量 $X ~ N (μ ， 7)$ ，若 $P (X < 2) = P (X > 4)$ ，则 $μ = 3$

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10. 已知符号函数 $sgn (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $sgn (\log_{2} 3 \cdot \log_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1$ B、 $sgn (\log_{\frac{1}{2}} 4) = - 1$ C、 $sgn (x)$ 是奇函数 D、函数 $y = 2^{x} \cdot sgn (- x)$ 的值域为（﹣∞ ， 1）

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11. 下面结论正确的是（）

A、若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为3⁵ B、1×1!+2×2!+…+n $\cdot$ n!＝（n+1）!﹣1（n∈N^*） C、（n+1） $C_{n}^{m}$ ＝（m+1） $C_{n + 1}^{m + 1}$ （n＞m ， $m \in N^{*} ， n \in N^{*}$ ） D、 $C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + ... + C_{2 n}^{2 n - 1} = 2^{2 n - 1}$ （ $n \in N^{*}$ ）

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12. 设函数 $f (x) = \frac{a \cdot e^{x - 1} + \ln a}{\ln x + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、若 $a = 1$ ， $f (x)$ 的极小值点为1 C、若 $a = e$ ，则 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、若 $a > 1$ ，则方程 $f (x) = 1$ 无实根

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三、填空题

13. 已知条件 $p$ ： $- 1 < x < 1$ ， $q$ ： $x > m$ ，若 $q$ 是 $p$ 的必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值是.

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15. 若定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)＝0，则 $x \cdot f (x - 1) \geq 0$ 的解集为.

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16. 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P＝a^t（a为正常数）.已知碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.则a＝；2020年1月10日，中国社会科学院考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”六大考古项目，位于滕州市官桥镇大韩村东的“大韩墓地”成功入选.考古人员发现墓地中某一尸体内碳14的残余量占原始含量的73%，则“大韩墓地”距测算之时约年.（参考数据：lg73≈1.86，lg2≈0.3）

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四、解答题

17. 某中学高二甲、乙两个兴趣班进行了一次数学对抗赛，该对抗赛试题满分为150分，规定：成绩不小于135分为“优秀”，成绩小于135分为“非优秀”，对这两个班的所有学生的数学成绩统计后，得到如图条形图.

参考数据：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

(1)、根据图中数据，完成如下的2×2列联表；

	甲班	乙班	总计
优秀
非优秀
总计

(2)、计算随机变量

K^{2}

的值（精确到0.001），并由此判断：能否有90%的把握认为“成绩与班级有关”？

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 m - 1) < f (m - 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数f（x）＝ax²﹣（4a+1）x+4（a∈R）.

(1)、若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a ， b的值；

(2)、解关于x的不等式f（x）＞0.

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20. 1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日，中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在 $A$ ， $B$ 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案： $A$ ， $B$ 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生 $A$ 能正确回答其中的4个问题，而学生 $B$ 能正确回答每个问题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ， $A$ ， $B$ 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.

(1)、求 $A$ 恰好答对两个问题的概率；

(2)、求 $B$ 恰好答对两个问题的概率；

(3)、设 $A$ 答对题数为 $X$ ， $B$ 答对题数为 $Y$ ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{4} ， g (x) = - \ln x$ .

(1)、若∀x∈R，f（x）≥0，求实数a的取值范围；

(2)、用min{m ， n}表示m ， n中的较小者.设h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有三个零点，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - x - 1$ ，证明：

(1)、f(x)存在唯一的极值点，且为极小值点；

(2)、 $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；

(3)、 $2 | f (n) | > (n^{2} + 2 n + 2) | f (- n) |$ ( $n \in N^{*}$ ).

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