山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $[- 4 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{0} B、{2} C、 ${0 ， 2}$ D、 ${0 ， 2 ， 4}$

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2. 已知 $a = \log_{3} \frac{1}{2}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{^{\frac{1}{4}}}$ ， $c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{4}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - | x |} + \lg \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， 3]$ C、 $(- 3 ， - 1) \cup (- 1 ， 3)$ D、 $(- 2 ， - 1) \cup (- 1 ， 3]$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + a^{2} + 1$ 为偶函数，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x - y + 1 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ D、 $2 x - y - 1 = 0$

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5. 根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在 $[20, 80)$ （单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到 $0.8 mg/mL$ ，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过 $n$ 小时才能开车，则 $n$ 的最小整数值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 若函数 $f (x) = x^{3} + (2 - a) x^{2} + \frac{a}{3} x + 1$ 在其定义域上不单调，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 1$ 或 $a > 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $1 < a < 4$ D、 $1 \leq a \leq 4$

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7. 函数 $f (x) = \ln \frac{1 - x}{1 + x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x}}$ ，若 $f (\log_{3} x) - f (\log_{\frac{1}{3}} x) \leq 2 f (1)$ ，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{1}{3} \leq x \leq 1$ B、 $\frac{1}{3} \leq x \leq 3$ C、 $x \geq \frac{1}{3}$ D、 $0 < x \leq 3$

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二、多选题

9. 下列四个命题中，为假命题的是（）

A、 $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $2^{x} = \frac{1}{x}$ B、“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x - 1 < 0$ ” C、“函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内 $f (x) > 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内单调递增”的充要条件 D、已知 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处存在导数，则“ $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”是“ $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点”的必要不充分条件

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10. 已知函数 $f (x) = a + \frac{1}{2^{x} - 1}$ ，则（）

A、对于任意实数 $a$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上均单调递减 B、存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 为奇函数 C、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上函数值均大于0 D、存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $(0 ， 2)$

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11. 为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量 $y$ （单位：mg）随时间 $x$ （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中， $y$ 与 $x$ 成正比；药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{8})}^{x - a}$ （ $a$ 为常数），则（）

A、当 $0 \leq x \leq 0.2$ 时， $y = 5 x$ B、当 $x > 0.2$ 时， $y = {(\frac{1}{8})}^{x - 0.1}$ C、 $\frac{23}{30}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 $0.25 mg$ 以下 D、 $\frac{13}{15}$ 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 $0.25 mg$ 以下

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12. 已知函数 $f (x) = x - (x - 1) \ln x$ ，下述结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (1 ， 2)$ B、存在实数 $a$ ，使得 $f (a) > 2$ C、方程 $f (x) = - 1$ 有且仅有两个实数根，且两根互为倒数 D、当 $k < 1$ 时，函数 $f (x)$ 与 $g (x) = k x$ 的图象有两个交点

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三、填空题

13. 设集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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14. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，当 $x \in (- 1.5, 3]$ 时，函数 $y = [\frac{x - 2}{2}]$ 的值域为．

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15. 设 $x_{1}$ 满足 $2^{x} + 2 x = 3$ ， $x_{2}$ 满足 $2^{2 - x} = 2 x - 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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16. 已知 $λ \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - x^{2} ， x > λ \\ - x - 2 ， x \leq λ \end{array}$ ，当 $λ = 0$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 的解集是；若函数 $f (x)$ 恰有2个零点，则 $λ$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{(x - m + 1) (m + 1 - x)}}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, 0 < x < 3}$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、设 $p$ ： $x \in A$ ， $q$ ： $x \in B$ ，若 $q$ 是 $p$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + x + a (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有3个零点，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} + x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $k \in [- 1 ， 1]$ ，使不等式 $f (t^{2} + t + k) + f (- 2 t^{2} + 2 k t + 3) < 0$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a \ln x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $f (x) \geq a - a \ln a$ ．

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21. 某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值 $y$ （千万元）与科研经费投入 $x$ （千万元）之间的关系满足：① $y$ 与 $(x + \frac{t}{x})$ 成正比，其中 $t$ 为常数，且 $t \in [1 ， 16]$ ；②当 $x = 2$ 时， $y = 4 + t$ ；③2020年科研经费投入 $x$ 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、求2020年利润增加值 $y$ 的最大值以及相应的 $x$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - x)$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < - 3 - 4 \ln 2$ ．

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