山东省潍坊市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z$ $(2 - i) = | \sqrt{3} + i |$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{4}{3} + \frac{2}{3} i$ D、 $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} i$

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2. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(\sqrt{x})}^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = 1 + \ln x$ D、 ${(e^{x} + \frac{1}{x})}^{'} = e^{x} + \frac{1}{x^{2}}$

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3. 已知平面 $α$ ， $β$ ，则 $α // β$ 的一个充分条件是（）

A、平面 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、平面 $α$ 内有两条相交的直线与 $β$ 平行 C、平面 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、平面 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面

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4. 已知 $x = m$ 时，函数 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 取得极大值，则 $m =$ （）

A、-4 B、-2 C、4 D、2

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5. 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：

学生

甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸

平均

标准差

数学

$x_{1}$

$x_{2}$

$x_{3}$

$x_{4}$

$x_{5}$

$x_{6}$

$x_{7}$

$x_{8}$

$\bar{X} = 60$

$σ (X) = \sqrt{94}$

物理

$y_{1}$

$y_{2}$

$y_{3}$

$y_{4}$

$y_{5}$

$y_{6}$

$y_{7}$

$y_{8}$

$\bar{Y} = 65$

$σ (Y) = \sqrt{23}$

若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（）

A、

B、

C、

D、

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6. 欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式： $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i} + \sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二条限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧棱长为4，底面为矩形且面积为4，一小虫从 $C$ 点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达 $C_{1}$ 点，则小虫爬行的最短路程为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{65}$ D、 $4 \sqrt{17}$

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8. 在桌面上有一个正四面体 $D - A B C$ .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作.如图，现底面为 $A B C$ ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 $A B C$ 再度与桌面接触的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{27}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $z i = 1 + i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| z + 1 | = \sqrt{5}$ B、 $z$ 虚部为 $- i$ C、 $z^{2020} = - 2^{1010}$ D、 $z^{2} + \bar{z} = z$

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10. 掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，恰好出现 $k$ 次正面的概率记为 $P_{k}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{1} = P_{5}$ B、 $P_{1} < P_{5}$ C、 $\sum_{k = 1}^{6} P_{k} = 1$ D、 $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $\dots$ ， $P_{6}$ 中最大值为 $P_{4}$

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11. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数.以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x + \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1}$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $O$ 为 $A_{1} C$ 的中点.点 $P$ 是 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，直线 $A_{1} P$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，都有 $A_{1} P ⊥ O B_{1}$ C、当点 $P$ 运动到 $B C_{1}$ 中点时，才有 $A_{1} P$ 与 $O B_{1}$ 相交于一点，记为 $Q$ ，且 $\frac{P Q}{Q A_{1}} = \frac{1}{3}$ D、无论点 $P$ 在 $B C_{1}$ 上怎么运动，直线 $A_{1} P$ 与 $A B$ 所成角都不可能是30°

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三、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是（用数字作答）．

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14. 若函数 $f (x) = a x - \ln x$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是.

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16. 在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为 $r$ 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为 $R$ 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径 $r$ 的最大值为；大球半径 $R$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $z$ 为实数，② $z$ 为虚数，③ $z$ 为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知复数： $z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} - 1) i$

(1)、若_________，求实数m的值；

(2)、当 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限时，求 $m$ 的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $P B$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A P D = 90 °$ ， $P A = P D = A B = B D = 1$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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19. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 2 a^{2} + 3 a) e^{x} (x \in R)$ ，其中 $a < \frac{2}{3}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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20. 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522—醉酒驾车的测试2004）中规定，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或着等者 $20 mg/ 100 ml$ ，小于 $80mg/100ml$ 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 $80mg/100ml$ 的驾驶行为，两者都属于酒驾行为.为将酒驾危害降至最低，某市交警支队决定采用不定时查车的办法来减少酒驾的发生，下表是该交警支队5个月内检查到酒驾的人数统计表：

月份

1

2

3

4

5

酒驾人数

115

100

100

95

85

参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、请利用所给数据求酒驾人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y} = b x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该市7月份的酒驾人数.

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21. 已知三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ ， $A B = A C = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $∠ C A B = 90 °$ ， $B B_{1} ⊥ A C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ B_{1} E$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成角的正弦值；

(3)、试判断在线段 $B C$ 上是否存在一点 $F$ （点 $F$ 不与 $B$ 、 $C$ 重合），使二面角 $F - A_{1} C_{1} - E$ 为30°？若存在，求出 $\frac{C F}{C B}$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：

(1)、求a的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）；

(2)、为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如下数据：

	前50名	后50名
近视	42	32
不近视	8	18

根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？

(3)、若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

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月份	1	2	3	4	5
酒驾人数	115	100	100	95	85