山东省泰安市2019-2020学年下学期高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁_UT）等于

A、{1，4，5，6} B、{1，5} C、{4} D、{1，2，3，4，5}

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2. 已知 $(1 + i) z = i$ （i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知命题p： $\forall$ x₁,x₂ $\in$ R,(f(x₂) $-$ f(x₁))(x₂ $-$ x₁)≥0,则 $\neg$ p是（）

A、 $\exists$ x₁,x₂ $\in$ R,(f(x₂) $-$ f(x₁))(x₂ $-$ x₁)≤0 B、 $\forall$ x₁,x₂ $\in$ R,(f(x₂) $-$ f(x₁))(x₂ $-$ x₁)≤0 C、 $\exists$ x₁,x₂ $\in$ R,(f(x₂) $-$ f(x₁))(x₂ $-$ x₁)<0 D、 $\forall$ x₁,x₂ $\in$ R,(f(x₂) $-$ f(x₁))(x₂ $-$ x₁)<0

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4. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = 3^{- 0.2}$ ， $c = 3^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为 $p$ .某检验员从该生产线上随机抽检 $50$ 个零件，设其中优等品零件的个数为 $X$ .若 $D (X) = 8$ ， $P (X = 20)$ $< P (X = 30)$ ，则 $p =$ （）

A、0.16 B、0.2 C、0.8 D、0.84

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6. 已知定义域为R的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，当 $2 \leq x \leq 4$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，则 $f (2020) =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、9

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7. 命题“对任意实数 $x \in [1, 3]$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a \leq 0$ 恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \leq 9$ B、 $a \geq 8$ C、 $a \geq 9$ D、 $a \geq 10$

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8. 若存在 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ，使得不等式 $2 x ln x + x^{2} - m x + 3 \geq 0$ 成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 3 e - 2$ B、 $\frac{3}{e} + e + 2$ C、 $4$ D、 $e^{2} - 1$

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二、多选题

9. 下列等式正确的是（）

A、 $(n + 1) A_{n}^{m} = A_{n + 1}^{m + 1}$ B、 $\frac{n!}{n (n - 1)} = (n - 2)!$ C、 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{n!}$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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10. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

2

3

4

$P$

$q$

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $q = 0.1$ B、 $E X = 2$ ， $D X = 1.4$ C、 $E X = 2$ ， $D X = 1.8$ D、 $E Y = 5$ ， $D Y = 7.2$

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11. 已知函数 $f (x) = \ln | x | - x + \frac{1}{x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 恰有2个零点 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ， + \infty)$ 上是增函数 C、 $f (x)$ 既有最大值，又有最小值 D、若 $x_{1} x_{2} > 0$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$

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12. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{11}$ C、事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 是两两互斥的事件

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三、填空题

13. 函数 $y = \ln (- x^{2} + 2 x + 3)$ 的定义域为.

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14. 数独是源自18世纪瑞土的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有种(用数字作答).

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15. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 2$ 的切线，也是曲线 $y = \ln (x + 1)$ 的切线，则 $b =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x - 1}, & x < 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, & x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (0) + f (2) =$ ；若 $f [f (a)] = 2$ ，则实数 $a =$ .

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四、解答题

17. 已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ，i为虚数单位.

(1)、求 $| z |$ 和 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数z是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数m ， n的值.

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18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ $C_{n + 1}^{2} - C_{n}^{n - 2} = 10$ .

已知在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，________.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中含 $x^{5}$ 的项.

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19. 为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：

	健身族	非健身族	合计
男性	40	10	50
女性	30	20	50
合计	70	30	100

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b = c + d$ .

参考数据：

P（K₂≥k⁰）	0. 50	0. 40	0. 25	0. 05	0. 025	0. 010
$k_{0}$	0. 455	0. 708	1. 321	3. 840	5. 024	6. 635

(1)、若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？

(2)、根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？

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20. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数a的值，并用定义证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} + 2) + f (t^{2} - t k) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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21. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为

A

，

B

，

C

，

D

，

E

共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

(1)、某校生物学科获得

A

等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分	91	90	89	88	87	85	83	82
转换分	100	99	97	95	94	91	88	86
人数	1	1	2	1	2	1	1	1

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于 $95$ 分的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、假设该省此次高一学生生物学科原始分

Y

服从正态分布

N (75.8 ， 36)

．若

Y ~ N (μ, σ^{2})

，令

η = \frac{Y - μ}{σ}

，则

η ~ N (0, 1)

，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分 $C$ 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记 $ξ$ 为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求 $P (ξ = k)$ 取得最大值时 $k$ 的值．

附：若 $η ~ N (0, 1)$ ，则 $P (η ⩽ 0.8) \approx 0.788$ ， $P (η ⩽ 1.04) \approx 0.85$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），若 $f (x_{1}) > m x_{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	$q$	0.4	0.1	0.2	0.2