山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. “ $m \in {1, 2}$ ”是“ $\ln m < 1$ ”成立的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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2. 函数 $f (x) = \lg x - \frac{1}{2^{x}}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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3. 已知数列 ${{(- 1)}^{n} (2 n + 1)}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、-13 B、-12 C、-11 D、-10

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4. 若 $\exists x \in R$ ，使得 $a \leq x (2 - x)$ 成立，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、1 D、0

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5. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} \cos π x, (x \leq 0) \\ f (x - 1) + 1 \begin{matrix} , & (x > 0) \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $f (\frac{4}{3}) + f (- \frac{4}{3})$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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6. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{\sin | x |}{2 + \cos x}$ B、 $f (x) = \frac{\sin x \cdot \ln | x |}{2 + \cos x}$ C、 $f (x) = \frac{\cos x \cdot \ln | x |}{2 + \cos x}$ D、 $f (x) = \frac{\cos x}{x}$

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7. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：

得分	3	4	5	6	7	8	9	10
频数	2	3	10	6	3	2	2	2

设得分的中位数为 $m_{e}$ ，众数为 $m_{0}$ ，平均数为x，则（）

A、

m_{e} = m_{0} = x

B、

m_{e} = m_{0} < x

C、

m_{e} < m_{0} < x

D、

m_{0} < m_{e} < x

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数， $f (x - 1)$ 是奇函数， $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上单调递增，则（）

A、 $f (0) > f (2020) > f (2019)$ B、 $f (0) > f (2019) > f (2020)$ C、 $f (2020) > f (2019) > f (0)$ D、 $f (2020) > f (0) > f (2019)$

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9. 若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）

A、a^c＜b^c B、ab^c＜ba^c C、alog_bc＜blog_ac D、log_ac＜log_bc

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二、多选题

10. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {y | y = x^{- 2} ， x \in R}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + x - 2 < 0 ， x \in R}$ ，则（）

A、 $A \cap B = (0 ， 1)$ B、 $A \cup B = (- 2 ， + \infty)$ C、 $A \cap (∁_{R} B) = (0 ， + \infty)$ D、 $A \cup (∁_{R} B) = R$

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11. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = i$ $($ $i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1 + 2 i}{5}$ C、复数 $z$ 的实部为 $- 1$ D、复数 $z$ 对应复平面上的点在第二象限

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12. 若函数 $f (x) = e^{x} - e^{2 - x}$ ，则下述正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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三、填空题

13. 已知直线 $y = k x$ 与曲线 $y = \ln x$ 相切，则 $k$ = ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{n} =$ .

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15. 若 $x = - 2$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 1) e^{x - 1}$ 的极值点，则 $f (x)$ 的极小值为．

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16. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{4}{5}$ ，则袋中白球的个数为；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为.

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四、解答题

17. 在① $S_{4} = - 14$ ，② $S_{5} = - 15$ ，③ $S_{6} = - 15$ 三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足：， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $S_{n}$ 的最小值；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n + 6} a_{n + 7}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ .

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18. 某足球运动员进行射门训练，若打进球门算成功，否则算失败.已知某天该球员射门成功次数与射门距离的统计数据如下：

	射门距离不超过30米	射门距离超过30米	总计
射门成功	26	14	40
射门失败	4	16	20
总计	30	30	60

(1)、请问是否有90%的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关？

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(2)、当该球员距离球门30米射门时，设射门角（射门点与球场底线中点的连线和底线所成的锐角或直角）为

θ (θ \in [0 ， \frac{π}{2}])

，其射门成功率为

f (θ) = \cos θ + θ \cdot \sin θ - \frac{θ^{2} + 3}{4}

，求该球员射门成功率最高时射门角

θ

的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} + a_{n} = n + 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $a_{n} = b_{n + 1} - b_{n} + 1$ ， $b_{1} = 1$ ，证明： $b_{n} < 2$ .

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{a x^{2}}{2} + 1$ ， $a \in R$ ， $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的零点；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x \in (- \infty ， 1]$ 时， $f (x) \leq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 的系数公式

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ； $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .）

（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 5 \times 2 + 20 \times 14 + 35 \times 24 + 40 \times 35 + 50 \times 40 = 4530$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 5^{2} + 20^{2} + 35^{2} + 40^{2} + 50^{2} = 5750$ .）

(1)、某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过 $90$ 件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在 $x$ （单位：百件）件产品中，得到次品数量 $y$ （单位：件）的情况汇总如下表所示，且 $y$ （单位：件）与 $x$ （单位：百件）线性相关：

$x$ （百件）

$5$

$20$

$35$

$40$

$50$

$y$ （件）

$2$

$14$

$24$

$35$

$40$

根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过 $90$ 件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产 $10000$ 件的任务？

(2)、“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过 $10$ 分钟，如果有人 $10$ 分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有 $n$ 个人可派，工作人员 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}$ 各自在 $10$ 分钟内能完成任务的概率分别依次为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3} ， \dots ， p_{n}$ ，且 $p_{1} = p_{2} = p_{3} = \dots = p_{n} = 0.5$ ， $n \in N^{*}$ ，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为 $X$ ， $X$ 的数学期望为 $E (X)$ ，证明： $E (X) < 2$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x \ln x - (a - 1) x - 1$ ， $a \in R$ ， $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $a = 1$ ，证明： $(x - 1) f (x) \geq 0$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数.

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$x$ （百件）	$5$	$20$	$35$	$40$	$50$
$y$ （件）	$2$	$14$	$24$	$35$	$40$