山东省临沂市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $(2, 1)$ ， $(1, b)$ ，若 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，则 $b =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、－2

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2. 下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 3^{- x}$ B、 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ C、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ D、 $y = \frac{3}{x}$

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3. 现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）

A、60 B、64 C、81 D、360

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4. 5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（）

A、0.56 B、0.86 C、0.94 D、0.96

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5. 若 $a = 2^{\sqrt{3}}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = \log_{\sqrt{3}} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：

$ξ$

－1

0

1

$P$

$\frac{1}{4}$

$a$

$b$

若 $E (ξ) = 0$ ，则 $D (ξ) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 设函数 $f (x) = - \cos x - x^{4}$ 的导函数为 $g (x)$ ，则 $| g (x) |$ 图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布 $N (90, 64)$ ，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有（）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$

A、8718件 B、8772件 C、8128件 D、8186件

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二、多选题

9. 某旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位： $° C$ ）的折线图如图，则（）

A、1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月 B、1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系 C、最高气温与最低气温的差逐步减小 D、最低气温与最高气温间存在较好的正相关关系

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10. 下列结论正确的是（）

A、已知相关变量 $(x, y)$ 满足回归方程 $\hat{y} = 9.4 x + 9.1$ ，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1 B、在两个变量 $y$ 与 $x$ 的回归模型中，用相关指数 $R^{2}$ 刻画回归的效果， $R^{2}$ 的值越大，模型的拟合效果越好 C、若复数 $z = 1 + i$ ，则 $| \bar{z} | = 2$ D、若命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$

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11. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， $f (2) = 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{4}{3}) > 0$ C、 $f (\frac{2}{3}) + f (\frac{5}{3}) > 0$ D、不等式 $f^{2} (x) > 1$ 的解集为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x - 1) ， x > 1 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 1 \end{array}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $f (a) = 1$ ，则 $a = 3$ B、 $f (f (\frac{2021}{2020})) = 2020$ C、若 $f (a) \geq 2$ ，则 $a \leq - 1$ 或 $a \geq 5$ D、若方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实数根，则 $k > \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0 时， f (x) = x^{2} + x$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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14. 在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是.

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15. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x - 2 (a \in R)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 内有且只有一个零点，则 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值为.

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16. 已知 ${(3 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式各项系数之和为 $64$ ，则展开式中第五项的二项式系数是，展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 6} + \lg (3 - x)$ 的定义域为集合 $A$ ，又集合 $B = {x | x^{2} \leq 16}$ ， $C = {x | 3 x + m < 0}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $x \in C$ 是 $x \in A$ 的必要条件，求 $m$ 的取值范围.

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18. 在① $f (x) + f (- x) = 0$ ，② $f (x) - f (- x) = 0$ ，③ $f (- 2) = - f (2)$ 这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + a} + x) (a \in R)$ 满足______.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{f (- x)} + 1 - \sqrt{x^{2} + 1}$ ，证明： $g (x^{2} - x) \leq \frac{5}{4}$ .

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19. 近日，高人气“网红”纷纷为湖北“带货”，助力湖北农产品销售，多家线上购物平台联合媒体共同发起“为湖北拼单”活动，倡导消费者购买湖北滞销农产品.某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

单价 $x$ （元/件）	9	8.8	8.6	8.4	8.2	8
销量 $y$ （万件）	68	75	80	83	84	90

参考公式： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据以上数据，求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、若单价定为7.4元，试预测一场直播带货销量能否超过100万件？

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20. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x$ 的图象在 $x = 2$ 处的切线与直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{3} (m - 2 x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上有两个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围.

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21. 2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，“学习强国"平台从2月10日起推出了同上一堂课《名著导读课》直播课堂，某学校为调研《名著导读课》的观看情况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占

\frac{3}{5}

，其他相关数据如下表：

观看《名著导读课》	超过5节	不超过5节	合计
高二年级	90
高三年级		45
合计			200

(1)、请补填表中的空缺数据，并根据表中数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；

(2)、以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习经验介绍，记观看《名著导读课》节数超过5节的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{\ln x} (x > 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $λ > 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (e^{λ x}) \ln x \geq x^{2} - 1$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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$ξ$	－1	0	1
$P$	$\frac{1}{4}$	$a$	$b$